13、图论中的树结构详解

图论中的树结构详解

在图论中，树是一种特殊且重要的图结构，它在许多领域都有广泛的应用，如计算机科学、数据结构、聚类算法等。本文将详细介绍树的相关概念、性质以及基于树的数据结构。

图的一些基本结论

在正式介绍树之前，先来看一个关于图的推论。对于图 $G = (V, E)$ 和顶点集 $S$，有以下三个陈述是等价的：
- (i) 集合 $S$ 在 $G$ 中是稳定的；
- (ii) 集合 $V - S$ 是 $G$ 的顶点覆盖；
- (iii) $S$ 是 $G$ 的补图 $\overline{G}$ 中的团。

证明过程如下：(i) 和 (ii) 的等价性在定理 5.13 中已确立。假设 (iii) 成立，即 $S$ 是 $\overline{G}$ 中的团。那么对于 $x, y \in S$，有 ${x, y} \in (V \times V) - E$，所以 ${x, y} \notin E$，这意味着 $S$ 是 $G$ 中的稳定集，即 (iii) 蕴含 (i)，反之亦然。

树的定义与基本概念

• 树的定义 ：树是一个连通且无环的图 $T = (V, E)$。例如，图 5.19 所示的图 $G = (V, E)$ 就是一棵树，其中 $|V| = 10$，$|E| = 9$。
• 树的顶点分类 ：树的顶点分为两类，度数为 1 的顶点称为终端顶点、叶子或悬挂顶点，度数大于 1 的顶点称为内部顶点。如图 5.19 中的树，$v_3, v_4, v_6, v_7, v_9, v_{10}$ 是终端顶点，$v_