机器学习 - 特殊的矩阵和向量

最新推荐文章于 2024-10-23 22:12:41 发布

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本文介绍了机器学习中几种特殊的矩阵和向量，包括对角矩阵及其逆运算、点乘向量，对称矩阵，单位向量，向量正交性和正交矩阵的概念与性质。对角矩阵仅主对角线非0，其逆矩阵计算简单；对称矩阵关于主对角线对称；单位向量长度为1；向量正交指两个向量的内积为0；正交矩阵的行和列是标准正交向量组。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

1. 对角矩阵：只有主对角线上有非0元素，其他位置都为0

1. 对角矩阵：只有主对角线上有非0元素，其他位置都为0

如：

单位矩阵

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\\ 0& 0& 1 \end{bmatrix}$

diag(1,2,3)

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0\\ 0& 0& 3 \end{bmatrix}$

胖形对角

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0& 0& 1 & 0\end{bmatrix}$

瘦形对角

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\\ 0& 0& 1 \\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}$

1.1. 对角矩阵的逆 $A^{-1}$

方便的逆矩阵运算

A = diag(1,2,3) = $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0\\ 0& 0& 3 \end{bmatrix}$

$A^{-1}$ =diag(1,1/2,1/3)= $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1/2 & 0\\ 0& 0& 1/3 \end{bmatrix}$

1.2. 对角矩阵点乘向量

方便的点乘运算

diag(v)x = ( $v_{i}x_{i}$ )

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0\\ 0& 0& 3 \end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix} 7\\ 8\\ 9 \end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix} 7\\ 16\\ 27 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0& 0& 1 & 0\end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix} 6\\7\\ 8\\ 9 \end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix} 6\\ 7\\ 8 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\\ 0& 0& 1 \\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix} 7\\ 8\\ 9 \end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix} 7\\8\\ 9\\ 0 \end{bmatrix}$