一道只能用乘法不能用除法的数组面试题

题目：

给定一个数组a[N],我们希望构造数组b[N]，其中b[i]=a[0]*a[1]*...*a[N-1]/a[i]。在构造过程：

不允许使用除法；
要求O(1)空间复杂度和O(n)时间复杂度；
除遍历计数器与a[N] b[N]外，不可使用新的变量(包括栈临时变量、对空间和全局静态变量等)；
请用程序实现并简单描述。

解答：

数组分割

void problem(int* a, long long* b, int N)
{
     b[0] = 1;
     for(int i = 1; i < N; ++i)
     {
         b[i] = b[i-1] * a[i-1]; // 分水岭的前半段乘积
     }
 
     b[0] = a[N - 1];
     for(int i = N - 2; i >= 1; --i)
    {
         b[i] *= b[0];
         b[0] *= a[i]; // 分水岭的后半段乘积，是从数组尾部向前循环的
     }
 }

题目分析：

如果没有题目诸多限定条件，最直观的解法，就是如题目给定的公式一样，先累乘将结果存到中间变量中，然后再逐个做除法即可。

但题目限定是不准用除法。

再分析此公式的含义为：将a数组中除对应位置的元素外，其他所有元素乘积。

不用乘积的另一个直观办法，就是为求每一个b元素，重复遍历a数组。但这不满足题目O(n)对时间复杂度的限定。

算法分析：

problem进行两次扫描a数组。第一次扫描结果，使得b数组每个元素，获得了a数组中下标所有小于自己的那些元素的乘积。

第二次作逆向扫描，只不过这次不得不用b[0]作中间变量，记录累乘结果。

感觉这个题目也是为此算法量身设计的，题目要求不可使用新的变量。此算法中，刚好b[0]是可以拿来借用。因在第一次扫描后，它的值是常量1。完全可以把它占据存储空间拿走复用。