bzoj3738 [Ontak2013]Kapitał

最新推荐文章于 2018-07-10 20:22:00 发布

elijahqi

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分类专栏： CRT lucas

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本文介绍了一种解决特定组合数学问题的方法，即计算C(N+M,N)去除末尾0后对10^K取模的结果。通过分析2和5因子的数量来避免形成10，并使用中国剩余定理进行结果合并。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

http://www.elijahqi.win/archives/3219
Description

给出三个数字N,M,K。求C(N+M,N)去掉所有末尾的0后对10^K取模的结果.

1<=N,M<=10^15,1<=k<=9

Input

Output

Sample Input

11 5 9
Sample Output

000004368
HINT

Source

T飞需要预处理

因为要把10都去掉所以针对2,5分别讨论下怎么样把多余的可能构成10的那部分去掉即可

就比较一下2,5的个数谁多如果之前有乘起来就/逆元即可

然后直接用CRT合并一下即可

#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
inline char gc(){
    static char now[1<<16],*S,*T;
    if (T==S){T=(S=now)+fread(now,1,1<<16,stdin);if(T==S) return EOF;}
    return *S++;
}
inline ll read(){
    ll x=0,f=1;char ch=gc();
    while(!isdigit(ch)) {if(ch=='-') f=-1;ch=gc();}
    while(isdigit(ch)) x=x*10+ch-'0',ch=gc();
    return x*f;
}
inline int ksm(ll b,ll t,int md){static ll tmp;
    for (tmp=1;t;b=b*b%md,t>>=1) if (t&1) tmp=tmp*b%md;return tmp;
}
int tot,k,invy[10];
ll w[3],c[3],prime[3],mo[3],n,m,fac[2000000];
inline void exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){
    if (!b) {x=1;y=0;return;}exgcd(b,a%b,x,y);
    ll t=x;x=y;y=t-a/b*y;
}
inline ll inv(ll a,ll b){
    static ll t1,t2;exgcd(a,b,t1,t2);t1=(t1%b+b)%b;return t1;
}
inline void find_fac(int x){int md=x;
    for (int i=2;i*i<=md;++i){
        if(x%i) continue;prime[++tot]=i;mo[tot]=1;
        while(x%i==0) mo[tot]*=i,x/=i;
    }if (x>1) prime[++tot]=x,mo[tot]=x;
}
inline int get(ll n,int p,int md){
    if (!n) return 1;int l=n%md;ll t=1;
    t=ksm(fac[md],n/md,md);t=t*fac[l]%md;
    t=t*get(n/p,p,md)%md;return t;
}
inline ll calc(int p,int md){
    static ll t1,t2;ll nm[6];memset(nm,0,sizeof(nm));
    fac[0]=1;for (int i=1;i<=md;++i) if (i%p) fac[i]=fac[i-1]*i%md;else fac[i]=fac[i-1];
    t1=get(n,p,md);t2=1;
    for (ll i=2;i<=n;i=i<<1) nm[2]+=n/i;
    for (ll i=5;i<=n;i=i*5) nm[5]+=n/i;
    for (int i=1;i<=2;++i) {
        t2=t2*get(w[i],p,md)%md;
        for (ll j=2;j<=w[i];j=j<<1) nm[2]-=w[i]/j;
        for (ll j=5;j<=w[i];j=j*5) nm[5]-=w[i]/j;
    }t1=t1*inv(t2,md)%md;
    if (p==2) {
        if (nm[2]>nm[5]) t1=t1*ksm(invy[p],nm[5],md)%md,t1=t1*ksm(p,nm[2]-nm[5],md)%md;
        if (nm[2]<nm[5]) t1=t1*ksm(invy[p],nm[2],md)%md;
    }else{
        if (nm[5]>nm[2]) t1=t1*ksm(invy[p],nm[2],md)%md,t1=t1*ksm(p,nm[5]-nm[2],md)%md;
        if (nm[5]<nm[2]) t1=t1*ksm(invy[p],nm[5],md)%md;
    }
    return t1;
}
inline void print(int x,int k){
    if (!k) return;print(x/10,k-1);
    printf("%d",x%10);
} 
int main(){
    freopen("bzoj3738.in","r",stdin);
    n=read();m=read();k=read();ll ans=0;
    int mod=ksm(10,k,2e9);n+=m;find_fac(mod);
    w[1]=m;w[2]=n-m;invy[2]=inv(5,mo[1]);invy[5]=inv(2,mo[2]);
    for (int i=1;i<=tot;++i) c[i]=calc(prime[i],mo[i]);
    for (int i=1;i<=tot;++i) ans+=(ll)c[i]*(mod/mo[i])*inv(mod/mo[i],mo[i])%mod,ans%=mod;
    print(ans,k);
    return 0;
}