【Luogu P2483 】k短路（[SDOI2010]魔法猪学院）

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本文介绍了一个关于元素转换的问题，通过使用K短路算法寻找从初始元素到目标元素的不同转换路径。讨论了如何利用A*算法来解决该问题，并给出了具体的实现代码。

题目链接

题目描述

iPig在假期来到了传说中的魔法猪学院，开始为期两个月的魔法猪训练。经过了一周理论知识和一周基本魔法的学习之后，iPig对猪世界的世界本原有了很多的了解：众所周知，世界是由元素构成的；元素与元素之间可以互相转换；能量守恒……。
能量守恒……iPig 今天就在进行一个麻烦的测验。iPig 在之前的学习中已经知道了很多种元素，并学会了可以转化这些元素的魔法，每种魔法需要消耗 iPig 一定的能量。作为 PKU 的顶尖学猪，让 iPig 用最少的能量完成从一种元素转换到另一种元素……等等，iPig 的魔法导猪可没这么笨！这一次，他给 iPig 带来了很多 1 号元素的样本，要求 iPig 使用学习过的魔法将它们一个个转化为 N 号元素，为了增加难度，要求每份样本的转换过程都不相同。这个看似困难的任务实际上对 iPig 并没有挑战性，因为，他有坚实的后盾……现在的你呀！

注意，两个元素之间的转化可能有多种魔法，转化是单向的。转化的过程中，可以转化到一个元素（包括开始元素）多次，但是一但转化到目标元素，则一份样本的转化过程结束。iPig 的总能量是有限的，所以最多能够转换的样本数一定是一个有限数。具体请参看样例。

题解

最多有总能量/最短路个方式。
所以是K短路板子题。把逐渐变长的路径一个个求出来。
这里给出会被卡的 $A^*$ 算法。
每个点的估值函数:

F (x) = H (x) + G (x), H (x) 是 到 n 的 最 短 路, G (x) 是 当 前 路 径 长 度

$F(x)=H(x)+G(x),H(x)是到n的最短路,G(x)是当前路径长度$

H(x) H ( x ) $H(x)$ 可以在开始的时候建反图跑出来。
求k短路时，建一个堆，每次把估值函数值最小的拿出来扩展。
这样保证了每次首先扩展到目标节点的路径长度一定是当前最短的。
但是如果是n元环的情况就会使得求一次当前最短路要

O(n) O ( n ) $O(n)$ ,于是狂T。
正解可以参考这个 blog。

为了方便我直接用了pair，并且权值去了相反数再丢到堆里。

代码如下：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<vector>
using namespace std;
inline int read()
{
    int x=0;char ch=getchar();int t=1;
    for(;ch>'9'||ch<'0';ch=getchar()) if(ch=='-') t=-1;
    for(;ch>='0'&&ch<='9';ch=getchar()) x=(x<<1)+(x<<3)+(ch-48);
    return x*t;
}
const int N=5020;
const int M=2e5+100;
typedef double db;
const db INF=1e50;
struct edge{
    int to,next;db w;
}a[M],b[M];
int ha[N];int hb[N];
db dist[N];
int cna,cnb;
int n,m;db E;
inline void add(int x,int y,db len,edge *a,int *head,int &cnt){a[++cnt]=(edge){y,head[x],len};head[x]=cnt;}
bool in[N];
inline void spfa(edge *a,int *head,int S)
{
    queue<int> Q;
    Q.push(S);dist[S]=0;
    while(!Q.empty()){
        register int u=Q.front();Q.pop();
        for(register int v,i=head[u];i;i=a[i].next)
        {
            v=a[i].to;
            if(dist[v]<=dist[u]+a[i].w) continue;
            dist[v]=dist[u]+a[i].w;
            if(!in[v]) in[v]=1,Q.push(v);
        }
        in[u]=0;
    }
}
int max_t;
int ans=0;
typedef pair<db,int> Pr;
priority_queue<Pr> Q;
inline void A_star(edge *a,int *head)
{
    Q.push(Pr(-dist[1],1));
    while(!Q.empty())
    {
        register Pr p=Q.top();Q.pop();

        register int u=p.second;register db dis=-p.first;dis-=dist[u];
        if(u==n&&E>=dis) {E-=dis,++ans;if(E<dis) return;if(ans==max_t) return;}
        else if(u==n) return;if(u==n) continue;
        for(register int v,i=head[u];i;i=a[i].next){v=a[i].to;Q.push(Pr(-(dis+a[i].w+dist[v]),v));}
    }
}
int main()
{
    n=read();m=read();scanf("%lf",&E);
    register int x,y;register db e;
    for(register int i=1;i<=n;++i) dist[i]=INF;
    for(register int i=1;i<=m;++i)
    {
        x=read();y=read();scanf("%lf",&e);
        add(x,y,e,a,ha,cna);add(y,x,e,b,hb,cnb);
    }
    spfa(b,hb,n);
    max_t=E/dist[1];
    A_star(a,ha);
    printf("%d\n",ans);
}