64、多边形行走问题中的捉迷藏算法

多边形行走问题中的捉迷藏算法

1. 问题引入

在简单多边形边界上，有这样一个有趣的问题：Jack 和 Jill 想要玩捉迷藏。已知他们在多边形边界上的任意路径，我们的目标是判断 Jack 能否在行走过程中不被 Jill 看到。

这个问题与以往的多边形行走问题有所不同。以往的研究大多致力于让移动的实体之间保持相互可见，而我们的问题是让两个实体在多边形边界上移动时保持相互不可见。此问题有很多实际应用场景，比如兔子躲避狼回到家、上班迟到的人避免被警察看到、资源在敌对区域的秘密运输等。

2. 相关研究

在多边形行走问题领域，已经有许多相关研究：
|研究内容|时间复杂度|研究人员|
| ---- | ---- | ---- |
|用安装在循环轨道上的移动摄像头搜索简单多边形办公室空间中的入侵者|未提及|Suzuki 等人、Tan|
|两个警卫从单一入口点开始巡逻简单多边形艺术画廊边界以检测入侵者|O(n log n)（后 Heffernan 改进为 O(n)）|Icking 和 Klein、Heffernan|
|检测简单多边形边界上允许两个警卫成功检测入侵者的所有可能入口点|O(n)|Zhang 和 Kameda|
|用单个警卫搜索多边形区域|O(n²)|LaValle 等人|
|用多边形警卫链沿着简单多边形边界扫描以检测入侵者|O(n³)|Efrat 等人|

3. 问题描述与结果

设 P 是一个具有 n 个顶点的简单多边形，πJack 和 πJill 是 P 边界上的两条任意路径。假设 Jill 以恒定速度从 πJill 的起点走到终点，我们有一个时