37、区间图部分表示扩展问题的算法解析

区间图部分表示扩展问题的算法解析

1. 引言

在图论中，区间图的表示和扩展问题是一个重要的研究领域。本文将详细介绍解决区间图部分表示扩展问题的算法，包括扩展区间图、扩展适当区间图以及同时区间图等方面的内容。

2. 扩展区间图

2.1 识别区间图

识别区间图在过去是一个长期未解决的开放问题，现在有两种主要的线性时间识别方法：
- 第一种方法是使用PQ - 树找到最大团的可行排序。
- 第二种方法利用字典序广度优先搜索的特性，多次遍历图并在图为区间图时构建表示。

这里使用PQ - 树方法在$O(n^2)$时间内解决RepExt(INT)问题。

2.2 最大团

区间图的最大团有一个重要的性质：一个图是区间图当且仅当存在一个最大团的排序，使得对于每个顶点，包含该顶点的团在这个排序中连续出现。
在区间图的区间表示中，可以为每个最大团选择一个“团点”，这些团点的从左到右的顺序就给出了上述所需的排序。反之，给定最大团的排序，也可以通过放置团点来构建图的有效区间表示。区间图的团总共具有$O(n + m)$个顶点，并且可以在线性时间内找到，使用PQ - 树也能在线性时间内找到团的可行排序。

2.3 扩展区间图的算法

扩展区间图的算法步骤如下：
1. 独立于部分表示，找到最大团并构建PQ - 树。
2. 计算所有团的↶和↷，并构建偏序关系◀。
3. 搜索PQ - 树，找到扩展◀的团的排序。
4. 根据排序，从左到右贪婪地在实线上放置团点。
5. 使用团点构建图的表示。