微分方程和向量场

自治的（时间齐次的）一阶微分方程

$$\dot{x}=\varphi (x)(6.1)$$
其中，$\dot{x}$表示$\partial x/\partial t$，$\dot{x}$为向量组$({\dot{x}}_1,{\dot{x}}_2,...,{\dot{x}}_k)$，$\varphi$是开集X到$R^k$的映射， X = { x 1 , x 2 . . . , x k } X=\{x_1,x_2...,x_k\} X={x1​,x2​...,xk​}指的是状态空间，$\varphi (x)$被称为向量场，定义了状态空间X中每个点上流的方向和速度（由x_k可以计算出\phi(x_k)，用矩阵X进行的映射即为向量场\phi），由（6.1）解微分方程面临如下几个问题：

• 是否有解
• 是否唯一
• 是否可以为全局解

里普菲茨连续性

若对任意$x,y\in C,C\subset X,\exists \lambda$使得$||\varphi (y)-\varphi (x)||⩽||y-x||$,则称函数$\varphi$是里普菲茨连续的。
一阶偏导数连续 严格于 里普菲茨连续 严格于 连续

picard_lindelof定理(解的存在性与唯一性)

如果$X\subset R^k$是一个开集，且向量场$\varphi :X\to R^k$是里普菲茨连续的，那么（6.1）通过每个状态$x^0\in X$有唯一的解映射$\xi (\cdot ,x^0):T\to X$,而且，$\xi (t,x^0)$在$t\in T$和$x^0\in X$时是连续的。
通过picard_lindelof定理可知，在足够平滑的向量场（满足里普菲茨连续性条件下），（局部）解的存在性与唯一性（满足初始条件的解）可以得到保证

解的全局性

定义：方程组(6.1)通过某个初始状态$x^0\in X$的解是一个函数$\xi (\cdot ,x^0):T\to X$，使得$\xi (0,x^0)=x^0$(在t=0时，满足初始条件)，且下式对所有T=R均成立，则称解是全局的。
$$\frac{d}{dt}\xi (t,x^0)=\psi [\xi (t,x^0)]$$

微分方程解的特殊情况

1. 非里普菲茨连续情况下，常微分方程有多个解
   

2. 爆炸型解
   

微分方程解法

例6.4
$$\{\begin{array}{l}{\dot{x}}_1={\varphi }_1(x)=\alpha x_1-x_2\\ {\dot{x}}_2={\varphi }_2(x)=x_1+\alpha x_2\end{array}$$

本文参考来源《演化博弈论》乔根·W·威布尔[著]