25、解决与时间相关的热问题

解决与时间相关的热问题

1. 重温咖啡冷却问题

在日常生活中，我们常常会遇到热咖啡冷却的情况。通过建立数学模型，我们可以更深入地理解这个过程。

1.1 模型回顾

咖啡温度 (U(t)) 随时间变化的一般微分方程为：
(\frac{dU}{dt} = \frac{hS}{cm}(U - u_s))
其中，(c) 是咖啡的比热容，(m) 是咖啡的质量，(h) 是牛顿冷却系数，(S) 是热量散失的表面积，(u_s) 是周围环境的恒定温度。

1.2 解析解

我们可以将上述微分方程改写为：
(\frac{dU}{dt} = -\lambda(U - u_s))
其中，(\lambda = \frac{hS}{cm}) 是比例常数。

下面通过一个例子来求解这个微分方程：
例 10.1 ：求解微分方程 (\frac{dU}{dt} = -\lambda(U - u_s))，初始条件为 (U(0) = u_0)。
- 步骤一：分离变量
(\frac{1}{U - u_s}\frac{dU}{dt} = -\lambda)
- 步骤二：积分
假设 (U > u_s)，对两边关于 (t) 积分可得：
(\ln(U - u_s) = -\lambda t + K)
进一步得到：
(U = e^{-\lambda t + K} + u_s)
- 步骤三：应用初始条件