24、热传导基础模型的构建

热传导基础模型的构建

在热学领域，理解和描述热传导过程对于许多实际应用至关重要。本文将深入探讨径向热传导和散热片的热传导模型，包括相关的理论推导、模型假设、微分方程的建立以及一些拓展问题。

1. 径向热传导

径向热流主要出现在涉及圆柱体和球体的问题中，在这些问题里，与圆柱体或球体中心距离相等的任意点温度相同。下面我们来详细推导圆柱体中平衡温度的微分方程。

1.1 傅里叶径向热传导定律

在圆柱体和球体中会出现径向热流。在径向热流中，我们需要考虑热量在传入或传出圆柱壳或球壳时的扩散情况。
设 (r) 为某点到圆柱体或球体中心的径向距离，(J(r)) 表示该点的热通量。总热流率可表示为：
[
\begin{align }
(\text{热流率})&= J(r)A(r)
\end{align }
]
其中 (A(r)) 是热流通过的面积。对于半径为 (r)、长度为 (l) 的圆柱面，(A(r) = 2\pi rl)；对于半径为 (r) 的球面，(A(r) = 4\pi r^2)。
傅里叶径向热传导定律的形式为：
[
\begin{align }
J(r) &= -k\frac{dU(r)}{dr}
\end{align }
]
这里 (J(r)) 是 (r) 处的热通量，(U(r)) 是 (r) 处的温度，(k) 是热导率。这表明热通量与温度梯度成正比。

1.2 模型假设与方法

考虑一个圆柱体，内部温度最高，外表面温度最低。