7、数值建模与仿真：从集中参数到分布参数过程

数值建模与仿真：从集中参数到分布参数过程

在工程领域，数值建模与仿真对于理解和预测各种过程的行为至关重要。本文将深入探讨多种非线性过程的建模与仿真，涵盖集中参数过程和分布参数过程，通过具体的方程和实例展示其应用。

1. 集中参数过程建模与仿真

集中参数过程的建模与仿真主要涉及范德波尔方程、杜芬方程、里卡蒂方程以及具有反馈的非线性系统等。

1.1 范德波尔方程

对于范德波尔方程，采用积分步长 $\Delta t = 10^{-2}$ 进行计算。从两种不同的初始情况出发，解从内部和外部收敛到一个几乎圆形的极限环。过渡阶段后出现该极限环的周期约为 (70 - 80) 个时间单位，具体数据如下表所示：
| $t_k$ | 76.7 | 78.6 | 80.2 | 82.1 | 83.7 |
| — | — | — | — | — | — |
| $x_1$ | 1.99 | 0.09 | -1.999 | 0.02 | 1.999 |
| $x_2$ | 0.05 | -2.01 | -0.05 | 2.01 | 0.07 |

程序 VDPOL 1(2) 的结果与参考文献中的图表严格重叠，证明了所使用方法的正确性。

1.2 杜芬方程

非线性杜芬方程的自治形式为：
$\frac{\partial^2 y}{\partial t^2} + \omega_0^2 y + \beta \omega_0^2 y^3 = 0$
状态向量为：
$\begin{bmatrix} x_1 \ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bm