基础图论算法

首先还是感谢 Alex_Wei 的博客 图论基础．
这篇博客可以理解成学习笔记之类的．所以记叙比较散乱是正常的．嗯．

一．最短路

以下内容，提最短路时若不做特殊说明，默认图是 无负环的存在负权有向图．

结论

1. 最短路中不存在环．

若存在环，只能是负环．

2. 单源最短路中，源点到图中任意一点的最短路最多有 $n-1$ 条边．

考虑 $n-1$ 条边构成图中可能存在的最小的链．若存在超过 $n-1$ 条边，则路径上有环．这与 结论 1 矛盾．

3. 最短路树
   对于每个点的最短路，考虑将它最短路上的前驱节点（若有若干，选择其中一个） $v(di{s}_u=di{s}_v+w)$ 认作其父亲．则若所有点对源点都可达，这样会形成一种树形结构满足源点出发的任意一条路径都是最短路．我们叫他最短路树．
   最短路树不止一种．若保留所有的

算法

SPFA

SPFA 是 Bellman-Fold 算法的队列优化．
其核心思想是对全点做 $n-1$ 轮松弛．即遍历边 $e(u\to v,w)$，检查若 $di{s}_v>di{s}_u+w$，令 $di{s}_v\leftarrow di{s}_u+w$．
松弛 $i$ 轮后，$di{s}_u$ 表示源点到 $u$ 经过边数不超过 $i$ 的最短路长度．

SPFA 判断负环

初始时，将全点丢入队列，$dis$ 赋为 $0$．执行 SPFA 并更新每个点的 入队次数，若发现某点入队次数 $\ge$ $n-1$，则原图存在负环．

入队次数，其实等于最短路经过的边数．当第 $x$ 次入队时，一定有路径边数 $\ge x$．否则它肯定会在之前的轮次更新．

差分约束系统

考虑一组变元 $(x_1,x_2,x_3,...,x_n)$ 的取值：
若存在若干组限制 $x_i+d\ge x_j$．如何构造满足所有限制的解．

发现 $x_i+d\ge x_j$ 形如最短路里的三角形不等式：
对于任意一种单元最短路，若存在边 $e(u\to v,w)$，一定有 $di{s}_u+w\ge di{s}_v$．

于是我们对于每组限制，建边 $e(x_i\to x_j,d)$，然后进行最短路算法即可．

为了防止存在单元最短路无法扩展到的点，通常，我们会建立超级源点 $S$，并对所有点建边 $e(S\to u,0)$．
这显然不会影响答案的正确性．只是限制了求解出的 $x_i$ 小于等于给 $S$ 赋值的初始距离 $di{s}_S$．

考虑最短路求得解的特殊性：
最短路求得差分约束的解满足为所有 $x_i\le di{s}_S$ 的最大解．

考察差分约束建模后产生的最短路树，若将任意某些 $x_i+1$，则必定存在其某个 $x_i$ 最短路树上的父亲与 $x_i$ 不满足三角形不等式．

同理，最长路求得的解是满足所有 $x_i\ge di{s}_S$ 的最小解．

Dijkstra

适用于非负权图最短路．
每次选择距离最短的节点，将其标记为已经求解了最短路的节点，然后用其更新其他没有标记的节点．

在非负权图中，对于一种最短路树，可以保证其父亲的距离一定小于等于自身的距离．归纳法即可证明 Dijkstra 算法的正确性．

值得注意，使用堆优化的 Dijkstra 的算法时间复杂度为 $O(m\log m)$．当 $m$ 接近 $n^2$ 时，使用不加堆优化的 Dijkstra 算法更优，复杂度为 $O(n^2)$．

01 Bfs

是 Dijkstra 算法在特殊图上的一种变式．
考虑一张图只有 $0/1$ 两种边权．我们使用 deque 进行 Bfs．每次取出队头，若碰到 $0$ 边，将新节点放入对头；若碰到 $1$ 边，将新节点放入队尾．
结论：第一次被更新时的距离即是每个节点的最短距离．

目前没有找到比较好的证明．