线性基小记

设有数集 $S$，数的二进制表示最高位不超过 $K$．可构造线性基为一最小化的集合 $V$，满足一个数能被表示成若干 $S$ 中的数的异或和，当且仅当其能被表示成若干个 $V$ 中的数的异或和．$V$ 的大小不超过 $K+1$．

1 构造方法．

记 $V_i$ 表示线性基中最高位为 $i$ 的元素．考虑现在插入一个数 $a$．从大到小枚举 $i$．若 $a$ 在第 $i$ 位为 $0$，则跳过；否则若不存在 $V_i$，将 $a$ 作为 $V_i$ 并中断枚举，若存在 $V_i$，将 $a$ 变为 $a\oplus V_i$ 并继续枚举．

性质的证明．

（一）一个数能被表示成若干 $S$ 中的数的异或和，当且仅当其能被表示成若干个 $V$ 中的数的异或和．

归纳证明．设原来的线性基满足性质．考虑在插入 $a$ 后，一个被 $S$ 中元素表示的数 $x=a_{i_1}\oplus a_{i_2}\oplus ...\oplus a_{i_k}\oplus a$．
我们做如下分类：

• 若 $a$ 最终没有被插入线性基，则 a 可以被线性基中原来的元素表示出．$x=a_{i_1}\oplus a_{i_2}\oplus ...\oplus a_{i_k}\oplus a_{j_1}\oplus a_{j_2}\oplus ...\oplus a_{j_{k^{{}^{\prime }}}}$．显然可以被原来的线性基表示出．
• 若 $a$ 被插入了线性基，设其为 $V_a$．则有
  $V_a=a\oplus a_{j_1}\oplus a_{j_2}\oplus ...\oplus a_{j_{k^{{}^{\prime }}}}$
  $a=V_a\oplus a_{j_1}\oplus a_{j_2}\oplus ...\oplus a_{j_{k^{{}^{\prime }}}}$
  $x=a_{i_1}\oplus a_{i_2}\oplus ...\oplus a_{i_k}\oplus a$
  $=V_a\oplus a_{j_1}\oplus a_{j_2}\oplus ...\oplus a_{j_{k^{{}^{\prime }}}}\oplus a_{i_1}\oplus a_{i_2}\oplus ...\oplus a_{i_k}$

这是 $S\to V$ 的证明，同理也有 $V\to S$ 的证明．

当然，可以用 线性代数 理解．我们将 $S$ 中的数看作 $K+1$ 维的向量．那么 $S$ 可以看做一个向量空间．这样一个向量空间显然不超过 $K+1$ 维（这个是性质二）．然后我们发现 $V$ 其实是维护了一组极小的线性无关向量构成的上三角矩阵．我们插入 $a$ 的过程其实是对新矩阵做高斯消元．

（二）$V$ 的大小不超过 $k+1$．

这个就很显然了．就不证了．

（三）$V$ 是极小的．

这个就不会证了，当然从 线性代数 的角度理解好像可以．

code．

struct linebase{
	int c[Bit+1];
	linebase(){memset(c, 0, sizeof(c));}
	void ins(int x){
		for(int i=Bit; ~i; i--){
			if((x>>i)&1){
				if(!c[i]){c[i]=x; break;}
				x^=c[i];
			}
		}
	}
};