MATH 127: Sample Exam 3AMatlab

Java Python MATH 127: Sample Exam 3A

Wednesday, November 20, 2024

1.  Let m = 28  · 33 · 54 · 113  and n = 22  · 36  · 72  · 11.

(a)  Determine gcd(m,n) and lcm[m,n]. You do not need to simplify your answers.                [6 pts]

(b) Find the smallest integer x > 1 such that x is coprime to m.                                               [4 pts]

(c)  Determine the number of odd positive integers that divide both m and n.                         [6 pts]

(d)  Determine the number of integers x ∈ [m] such that x is invertible modulo m. You do not need to simplify your answer.               [6 pts]

2. For each of the following sets, determine whether it is countable or uncountable.  Provide a brief justification (1–2 lines).              [18 pts]

(a) MATH 127: Sample Exam 3AMatlab   A = {(n,x) ∈ Z+  × R | x = ln(n)}

(b)  B = (Z × {0}) ∪ (R × {1})

(c)  C = N × Z × P(N) × P(Z)

3.   (a)  Use the Euclidean algorithm to calculate gcd(231 , 91).                                                          [6 pts]

(b) Use the extended Euclidean algorithm to find an ordered pair (m,n) ∈ Z2  such that 231m + 91n = gcd(231, 91).                              [5 pts]

(c)  Find all x ∈ Z such that 91x ≡ 63  (mod 231).                                                                        [10 pts]

(d) Find all x ∈ Z such that 91x ≡ 63  (mod 231) and x has a remainder of 2 when divided by 5.                                      [8 pts]

4.  Prove that for all m,n ∈ Z+  and all a,b,c ∈ Z, if a ≡ c  (mod m) and b ≡ c  (mod n) then a ≡ b  (mod  gcd(m,n))           [15 pts]

5.  Let S = (0, 5) and T = [0, 3) ∪ (3, 5].  Use the Cantor-Bernstein-Schroeder Theorem to prove that |S| = |T| .

You do not need to prove your functions are well-defined, but prove any other necessary properties