【算法专题】数论专题：组合数学

引入

列题：兔子问题
这道题可以怎么写呢？这里有两种方法：找规律&&数学归纳法

找规律

找规律来讲就是递归:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{
	int f0=1,f1=1,f2;
	int n;
	cin>>n;
	if (n==1)
    { cout<<"1"<<endl;exit(0);}
	for (int i=3;i<=n;++i)
	{
		f2=f0+f1;
		f0=f1;
		f1=f2;
	 } 
	 cout<<f2;
	 return 0;
}

数学归纳法

找规律在数据量大的情况下，很容易超时，此时，我们必须换一种方法.我们还是以兔子问题举例，找更优的方法。

于是，我们就重新合成了一段代码：

f[i]=a[i-1]+b[i-1]+c[i-1]+b[i-1]+a[i-1];

然后，问们进一步简化这个代码：

f[i]=f[i-1]+f[i-2];

把多个算式简化成一种数量关系，这就是数学归纳法.

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组合数学

基本计数原理

• 加法计数
  做一个事有n类办法，第i类办法有fi种方法，总的方法数为：f1+f2+f3+…fn

经典列题比如说有兔子问题，骨牌铺法。

• 乘法原理
  做一个事分成n个步骤，第i步有fi种方法，那么完成这件事共有f1f2f3*…fn种

经典列题

数的划分I
数的划分II
错排问题
出栈序列问题
括号序列问题
二叉树计数

解析列题（节选）

• 错排问题

n个有序的元素应有n！种不同的排列。如果一个排列使得所有的元素都不在原来的位置上，则称这个排列为错排。任给一个n，求出1，2，3，。。。，n的错排个数D为多少，并且给出所有的错排方案。

定义:f(n)=(n-1)*( f(n-1) + f(n-2) )，f(1)=0 , f(2)=1

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