该博客围绕回溯算法求解图着色问题展开实验。介绍了实验目的，包括正确应用算法、测试边界值和分析复杂度。阐述设计思路、主要数据和代码结构，给出实验使用环境。详细描述实验步骤，含输入图属性、回溯算法过程及剪枝，还分析了时间和空间复杂度。
一、目的
-
正确应用回溯算法求解图着色问题。
-
对边界值测试结果。
-
正确分析算法时间复杂度。
二、实验内容与设计思想
-
设计思路
(1) 输入图的点数，边数，色数。输入图的每条边。生成图。
(2) 通过回溯算法求可行的图方案，求得后输出。 -
主要数据结构
Graph typedef struct Graph {
vector<set<int>>G;
int color[MAXN] = {
0 };
int e, v, ColorNum;}
G是图中每个点邻接点的储存容器
color储存图中每个点的着色方案
e是图顶点个数，v是图边个数
ColorNum是图的色数
- 主要代码结构
三、实验使用环境
软件：Visual Studio 2022/1/4
平台：win10
四、实验步骤和调试过程
4.1 输入图的基本属性
流程图
输入图的点数，边数和色数。
输入图的边生成模式：
如果模式=0，则手动输入。
如果模式=1，则自动输入。
然后输出图结构。
数据测试与结果：
| 图的点数 | 图的边数 | 图的色数 | 图结构 |
| 6 | 18 | 3 | 第 1条边:(5, 4) 第 2条边:(4, 2) 第 3条边:(3, 5) 第 4条边:(3, 1) 第 5条边:(4, 3) 第 6条边:(2, 2) 第 7条边:(3, 1) 第 8条边:(3, 0) 第 9条边:(0, 5) 第10条边:(1, 3) 第11条边:(2, 0) 第12条边:(3, 3) 第13条边:(5, 5) 第14条边:(0, 5) 第15条边:(2, 1) 第16条边:(4, 1) 第17条边:(5, 4) 第18条边:(4, 1) 第19条边:(1, 0) 第20条边:(1, 4) 第21条边:(1, 3) 第22条边:(4, 2) 第23条边:(0, 3) |
6 |
21 |
5 |
第 1条边:(5, 4) 第 2条边:(4, 2) 第 3条边:(3, 5) 第 4条边:(3, 1) 第 5条边:(4, 3) 第 6条边:(2, 2) 第 7条边:(3, 1) 第 8条边:(3, 0) 第 9条边:(0, 5) 第10条边:(1, 3) 第11条边:(2, 0) 第12条边:(3, 3) 第13条边:(5, 5) 第14条边:(0, 5) 第15条边:(2, 1) 第16条边:(4, 1) 第17条边:(5, 4) 第18条边:(4, 1) 第19条边:(1, 0) 第20条边:(1, 4) 第21条边:(1, 3) |
7 |
30 |
6 |
第 1条边:(6, 6) 第 2条边:(2, 5) 第 3条边:(5, 6) 第 4条边:(0, 4) 第 5条边:(3, 4) 第 6条边:(2, 6) 第 7条边:(3, 2) 第 8条边:(6, 4) 第 9条边:(2, 5) 第10条边:(6, 4) 第11条边:(2, 1) 第12条边:(1, 4) 第13条边:(2, 4) 第14条边:(4, 1) 第15条边:(3, 3) 第16条边:(4, 2) 第17条边:(3, 0) 第18条边:(3, 6) 第19条边:(5, 5) 第20条边:(1, 6) 第21条边:(2, 5) 第22条边:(3, 1) 第23条边:(0, 2) 第24条边:(4, 1) 第25条边:(2, 0) 第26条边:(5, 1) 第27条边:(1, 3) 第28条边:(3, 5) 第29条边:(2, 1) 第30条边:(4, 1) |
7 |
26 |
4 |
第 1条边:(6, 6) 第 2条边:(2, 5) 第 3条边:(5, 6) 第 4条边:(0, 4) 第 5条边:(3, 4) 第 6条边:(2, 6) 第 7条边:(3, 2) 第 8条边:(6, 4) 第 9条边:(2, 5) 第10条边:(6, 4) 第11条边:(2, 1) 第12条边:(1, 4) 第13条边:(2, 4) 第14条边:(4, 1) 第15条边:(3, 3) 第16条边:(4, 2) 第17条边:(3, 0) 第18条边:(3, 6) 第19条边:(5, 5) 第20条边:(1, 6) 第21条边:(2, 5) 第22条边:(3, 1) 第23条边:(0, 2) 第24条边:(4, 1) 第25条边:(2, 0) 第26条边:(5, 1) |
8 |
36 |
5 |
第 1条边:(5, 6) 第 2条边:(6, 2) 第 3条边:(7, 3) 第 4条边:(5, 7) 第 5条边:(4, 5) 第 6条边:(6, 6) 第 7条边:(7, 1) 第 8条边:(3, 4) 第 9条边:(4, 5) 第10条边:(1, 5) 第11条边:(0, 6) 第12条边:(1, 5) 第13条边:(3, 3) 第14条边:(6, 3) 第15条边:(4, 1) 第16条边:(0, 7) 第17条边:(3, 0) 第18条边:(0, 5) 第19条边:(5, 6) 第20条边:(5, 2) 第21条边:(3, 3) 第22条边:(6, 6) 第23条边:(4, 5) 第24条边:(1, 3) 第25条边:(5, 5) 第26条边:(4, 6) 第27条边:(6, 1) 第28条边:(2, 3) 第29条边:(7, 3) 第30条边:(0, 5) 第31条边:(2, 2) 第32条边:(0, 6) 第33条边:(2, 7) 第34条边:(5, 4) 第35条边:(5, 3) 第36条边:(1, 6) |
8 |
40 |
5 |
第 1条边:(5, 6) 第 2条边:(6, 2) 第 3条边:(7, 3) 第 4条边:(5, 7) 第 5条边:(4, 5) 第 6条边:(6, 6) 第 7条边:(7, 1) 第 8条边:(3, 4) 第 9条边:(4, 5) 第10条边:(1, 5) 第11条边:(0, 6) 第12条边:(1, 5) 第13条边:(3, 3) 第14条边:(6, 3) 第15条边:(4, 1) 第16条边:(0, 7) 第17条边:(3, 0) 第18条边:(0, 5) 第19条边:(5, 6) 第20条边:(5, 2) 第21条边:(3, 3) 第22条边:(6, 6) 第23条边:(4, 5) 第24条边:(1, 3) 第25条边:(5, 5) 第26条边:(4, 6) 第27条边:(6, 1) 第28条边:(2, 3) 第29条边:(7, 3) 第30条边:(0, 5) 第31条边:(2, 2) 第32条边:(0, 6) 第33条边:(2, 7) 第34条边:(5, 4) 第35条边:(5, 3) 第36条边:(1, 6) 第37条边:(6, 7) 第38条边:(4, 5) 第39条边:(6, 5) 第40条边:(6, 6) |
…… |
…… |
…… |
…… |
4.2 回溯算法
流程图
搜索过程、回溯算法过程：
①初始化颜色总数为点数e。
②每次从点集中选择一个顶点并从第一种颜色开始尝试对其进行着色；
③如果着色不与邻接点冲突，则继续通过相同的方式处理点集中的下一个顶点；如果着色冲突（与邻接点颜色一样），则说明该种着色方法行不通，则尝试另一个颜色，知道色数已经达顶，则退回到上一个结点，将上一个结点的着色改为当前着色的下一种颜色。
④重复上述过程，直到所有的顶点都着色为止，此时确定了一个可行解。通过Graph的display函数打印出来。
⑤得到一个可行解后进行回溯，退回到上一个着色颜色序号小于当前颜色总数的结点上，将其着色改为下一种，并进行如上所示的推理过程。
⑥当存在一个结点没有颜色可以着色时，算法停止。
剪枝过程：
遍历所有点的邻接点，如果邻接点的个数>=图的色数，则不会有可行解，省去探索过程。
测试数据与结果：
| 图的点数 | 图的边数 | 图的色数 | 解法 |
| 5 | 10 | 3 | 第 1种解法： 1 1 1 2 2 第 2种解法： 1 1 1 2 3 第 3种解法： 1 1 1 3 2 第 4种解法： 1 1 1 3 3 第 5种解法： 1 1 2 2 3 第 6种解法： 1 1 2 3 3 第 7种解法： 1 1 3 2 2 第 8种解法： 1 1 3 3 2 第 9种解法： 1 2 1 3 3 第 10种解法： 1 2 2 3 3 第 11种解法： 1 3 1 2 2 第 12种解法： 1 3 3 2 2 第 13种解法： 2 1 1 3 3 第 14种解法： 2 1 2 3 3 第 15种解法： 2 2 1 1 3 第 16种解法： 2 2 1 3 3 第 17种解法： 2 2 2 1 1 第 18种解法： 2 2 2 1 3 第 19种解法： 2 2 2 3 1 第 20种解法： 2 2 2 3 3 第 21种解法： 2 2 3 1 1 第 22种解法： 2 2 3 3 1 第 23种解法： 2 3 2 1 1 |
| 5 | 10 | 3 | 无可行方案！ |
| 6 | 15 | 3 | 第 1种解法： 1 2 2 1 1 3 第 2种解法： 1 2 2 1 2 3 第 3种解法： 1 2 3 1 1 2 第 4种解法： 1 2 3 1 3 2 第 5种解法： 1 3 2 1 1 3 第 6种解法： 1 3 2 1 2 3 第 7种解法： 1 3 3 1 1 2 第 8种解法： 1 3 3 1 3 2 第 9种解法： 2 1 1 2 1 3 第 10种解法： 2 1 1 2 2 3 第 11种解法： 2 1 3 2 2 1 第 12种解法： 2 1 3 2 3 1 第 13种解法： 2 3 1 2 1 3 第 14种解法： 2 3 1 2 2 3 第 15种解法： 2 3 3 2 2 1 第 16种解法： 2 3 3 2 3 1 第 17种解法： 3 1 1 3 1 2 第 18种解法： 3 1 1 3 3 2 第 19种解法： 3 1 2 3 2 1 第 20种解法： 3 1 2 3 3 1 第 21种解法： 3 2 1 3 1 2 第 22种解法： 3 2 1 3 3 2 第 23种解法： 3 2 2 3 2 1 第 24种解法： 3 2 2 3 3 1 |
| 7 | 30 | 3 | 无可行方案！ |
| 7 | 40 | 4 | 第 1种解法： 1 2 3 4 3 1 2 第 2种解法： 1 2 4 3 4 1 2 第 3种解法： 1 3 2 4 2 1 3 第 4种解法： 1 3 4 2 4 1 3 第 5种解法： 1 4 2 3 2 1 4 第 6种解法： 1 4 3 2 3 1 4 第 7种解法： 2 1 3 4 3 2 1 第 8种解法： 2 1 4 3 4 2 1 第 9种解法： 2 3 1 4 1 2 3 第 10种解法： 2 3 4 1 4 2 3 第 11种解法： 2 4 1 3 1 2 4 第 12种解法： 2 4 3 1 3 2 4 第 13种解法： 3 1 2 4 2 3 1 第 14种解法： 3 1 4 2 4 3 1 第 15种解法： 3 2 1 4 1 3 2 第 16种解法： 3 2 4 1 4 3 2 第 17种解法： 3 4 1 2 1 3 4 第 18种解法： 3 4 2 1 2 3 4 第 19种解法： 4 1 2 3 2 4 1 第 20种解法： 4 1 3 2 3 4 1 第 21种解法： 4 2 1 3 1 4 2 第 22种解法： 4 2 3 1 3 4 2 第 23种解法： 4 3 1 2 1 4 3 第 24种解法： 4 3 2 1 2 4 3 |
| …… | …… | …… | …… |
4.4 时间复杂度
-
生成图：O(2v)
v------图的边数
无好坏情况之分，图结构是由点和边组成的，e是点数，但是e不用生成，是从0-e排列的，v是边数，因为是随机数生成，所以生成v条边，需要2v的时间。 -
剪枝：O(1)~O(e)
e------图的点数
遍历图的点，如果图的任意一个点的邻接点个数>=色数，则说明图无可行解。- 最好的情况：
O(1)------如果遍历第一个点的时候，就发现第一个点的邻接点个数>=色数，则结束。 - 最差的情况：
O(e)------如果遍历最后一个点的时候，才发现无可行解。或者所有点的邻接点个数都<色数，则需要时间O(e)。
- 最好的情况：
-
单次探索：O(n+k)
n------该点的邻接点个数
k------该点的可行着色数量
n：遍历邻接点，将他们的颜色都标注。
k：遍历色数，当目前颜色没有被标注，则该点染这个颜色，并进行下一个递归。所以染色和递归的次数取决于该点的可行着色数量，即该点所有邻接点中小标小于该点的数量。 -
整个探索过程：O(f(1) ×f(2)×…×f(e)f(1)\ \times f(2) \times \ldots \times f(e)f(1) ×f(2)×…×f(e))
f(index)f(index)f(index)：是下标为index的点的可着色数量。即m-(index的邻接点中已经染色数量)。
且已知[m−f(1)]+[m−f(2)]+…+[m−f(e)]=v\left\lbrack m - f(1) \right\rbrack + \left\lbrack m - f(2) \right\rbrack + \ldots + \left\lbrack m - f(e) \right\rbrack = v[m−f(1)
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