算法导论

算法导论

红黑树

• 红黑树是一种自平衡二叉查找树
• 性质
  
  1. 节点是红色或黑色。
  2. 根节点是黑色。
  3. 每个叶节点（NIL节点，空节点）是黑色的。
  4. 每个红色节点的两个子节点都是黑色。(从每个叶子到根的所有路径上不能有两个连续的红色节点)
  5. 从任一节点到其每个叶子的所有路径都包含相同数目的黑色节点。

排序

插入排序

• 找出n个数中最少的
• 和第一个数交换
• 找n-1个数中最少的

• 直到遍历完

• 2-4逆序对

  • a (2,1)(3,1)(8,1)(6,1)(8,6)
  • b 完全倒序拥有最多的逆序对，n(n-1)/2
  • c 数组逆序对越少，插入时间越短

渐进符号

• $Θ渐进区间 f(n)=Θ(g(n)), 存在正常数c_1 ，c_2，n_0,$
  $使所有n>n_0即无穷大的n使f(n)在c_1g(n)和c_2g(n)之间，$
  $g(n)是f(n)的一个渐进确界!$
  

  • $O渐进上界f(n)=O(g(n)),存在正常数c_1,n_0。$
    $使所有的n>n_0，使0<f(n)<c_1g(n)$

  • $Ω渐进下界f(n)=Ω(g(n)),存在正常数c_1,n_0。$
    $使所有的n>n_0，使f(n)>c_1g(n)$

  • o非渐进紧确下界
    

    $${\lim_{n \to \infty}\frac{f(n)}{g(n)}} = 0$$

  • ω非渐进紧确上界
    $${\lim_{n \to \infty}\frac{f(n)}{g(n)}} = {\infty}$$

标准记号和常用函数

• 单调性
• 上取整$\lceil x \rceil$，下取整$\lfloor x \rfloor$
• 取模运算 $a \bmod n =b \bmod n$
• 多项式 $$p(n) = \sum_{i=1}^n a_in_i$$
• 指数式
• 对数 $当 \left | x \right |小于1时$
  $\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+...$

待续