洛谷P1268 树的重量（构造法）

最新推荐文章于 2020-02-01 22:52:09 发布

Berton2L

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分类专栏：构造法贪心文章标签：构造法贪心

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本文详细解析洛谷P1268树的重量问题，介绍两种解题思路：构造法和贪心算法。通过实例说明如何根据物种间的距离矩阵重构进化树及其总重量。

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洛谷P1268 树的重量（构造法）

题目描述

树可以用来表示物种之间的进化关系。一棵“进化树”是一个带边权的树，其叶节点表示一个物种，两个叶节点之间的距离表示两个物种的差异。现在，一个重要的问题是，根据物种之间的距离，重构相应的“进化树”。
令N={1..n}，用一个N上的矩阵M来定义树T。其中，矩阵M满足：对于任意的i，j，k，有M[i,j] + M[j,k] >= M[i,k]。树T满足：
1．叶节点属于集合N；
2．边权均为非负整数；
3．dT(i,j)=M[i,j]，其中dT(i,j)表示树上i到j的最短路径长度。
如下图，矩阵M描述了一棵树。

树的重量是指树上所有边权之和。对于任意给出的合法矩阵M，它所能表示树的重量是惟一确定的，不可能找到两棵不同重量的树，它们都符合矩阵M。你的任务就是，根据给出的矩阵M，计算M所表示树的重量。下图是上面给出的矩阵M所能表示的一棵树，这棵树的总重量为15。

输入输出格式

输入格式：

输入数据包含若干组数据。每组数据的第一行是一个整数n(2<n<30)。其后n-l行，给出的是矩阵M的一个上三角(不包含对角线)，矩阵中所有元素是不超过100的非负整数。输入数据保证合法。
输入数据以n=0结尾。

输出格式：

对于每组输入，输出一行，一个整数，表示树的重量。

输入输出样例

输入样例：

5
5 9 12 8
8 11 7
5 1
4
4
15 36 60
31 55
36
0

输出样例：

15
71

解题分析1

该方法能通过前5个测试点，但第六个没有通过，由于没有测试数据，不知哪儿出问题了。这里请教大家了。
假设给定的矩阵为m[N][N]，在构造树时，主要考虑确定每两个顶点（树的叶节点）之间需要增加几个点以及如何增加。可以采取如下方法：
1、以点1和2为例，如果某个结点k到点1和2的距离分别为m[1][k]和m[2][k]，则差d = m[1][k] - m[2][k]，因此，在1和2之间必须增加一个结点p，该结点将边1和2分成两部分，这两部分的差为d，通过计算(简单的二元方程组)可以得到，p到点1的距离为d1=(m[1][2] + d)/2（题目中的条件保证该数为正数）。
2、如果另一个点k1到1和2的距离差也是d，则k1也在从p引出的一个分支上（如图1中的3，4，6）。
3、因此，可以得到：假设到点1和点2的距离的差有j个不同的值，则应该在该边上增加j个不同的中间点(图1中的j为2)。
4、如果1和2中间增加的某个点只有另外一个分支（如图1中的5），则可以直接将结果加上：m[1][k2] - d1。
5、如果1和2中间增加的某个点另外有多个分支（3，4，6），则将第一个分支（编号最小，3）按照4的方式对结果加上相应的值（如图2），对于其他分支（4和6），则必须在1和k2的边上增加一些新的结点，处理方式与点1和点2的处理方式相同（可以递归实现）。注意该分支上处理的点只能是与它同在一个分支上的点，例如处理1，3时，只能考虑4和6。
6、初始化：求每一个顶点k到第一个点与另一个顶点k1(k1>k）之间距离的差值，并将该差值放到一个队列中。

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#define N 32
using namespace std;
int n, m[N][N] = {0}, ans, used[N] = {0};
queuep[N][101];
void get_i(int &x){
	x = 0;
	char ch = getchar();
	while(!isdigit(ch)) ch = getchar();
	while(isdigit(ch)){
		x = x*10 + ch - '0';
		ch = getchar();
	}
} 
void ini(){
	int i, j, k, x;		
	// 计算在路径0-j上有哪些分叉点，并将相同的分叉点放到队列q中，编号较小的先入队 
	for(j=1; j0)			
					resolve(j, a1, n2);//处理0-j上的分叉点 
				break;
			}			
		}
	}
}
int main(){
	ios::sync_with_stdio(false);
	int i, j, a[N];
	get_i(n);
	while(n){
		memset(m, 0, sizeof(m));
		memset(used, 0, sizeof(used));
		for(i=0; i




解题分析2：
采用贪心算法，从小到大（编号）将每一个顶点加入树中，在加入某个顶点k时，考虑所有可能增加的重量中最小值。

具体做法是：

1、先将1和2加入到树中。

2、3可以直接加入（如图3），先计算1到3和2的距离的差值d=m[1][3]-m[1][2]，则新增加的值为(m[2][3]+d)/2（结点3到新增结点之间的距离）。

3、对于结点4，先计算1到4和2的距离的差值，并得到新增加的值x1（方法同第二步）,再计算1到4和3的距离的差值，并得到新增加的值x2，选择x1和x2中较小的加入到结果（如图4，此时x2较小）。

4、对于结点k，同样，计算1到k和k1(k1<k, k1>1)距离的差值，并得到新增加的值，将这些值中最小的值加入到结果中。




#include
#include
#include
#include
#include

using namespace std;
#define N 32
#define INF 0x7fffffff
int d[N][N];
void get_i(int &x){
	x = 0;
	char ch = getchar();
	while(!isdigit(ch)) ch = getchar();
	while(isdigit(ch)){
		x = x*10 + ch - '0';
		ch = getchar();
	}
} 
int main(){
	int n, i, t, ans;
	get_i(n);
    while(n){            
        for(i=0;i