排列组合和二项式定理

先来看两个问题。
问题一：从 $n$ 个元素中取出其中 $k$ 个元素，将结果进行排序，问这样的排序有多少种可能？
问题二：从 $n$ 个元素中取出其中 $k$ 个元素，组成一个集合，问这样的集合有多少种可能？
问题一对应的数学问题叫排列，问题二对应的数学问题叫组合。下面分别考察这两个问题。
先看问题一，要填满目标序列的 $k$ 个位置，第一个位置有 $n$ 种选择，第二个位置有 $n-1$ 种选择，第三个位置有 $n-2$ 种选择，一直到第 $k$ 个位置有 $n-(k-1)$ 种选择。根据乘法原理，这样排列的可能数目为：

$n\times (n-1)\times (n-2) \times \cdots \times [n-(k-1)]=\frac{n!}{(n-k)!}$
记为：