48、HECC嵌入式：高效面积实现的探索

HECC嵌入式：高效面积实现的探索

1. HECC发展回顾

超椭圆曲线密码学（HECC）的发展历程中，早期实现仅给出了大纲。首个完整的HECC硬件实现基于Cantor算法，并在最大公约数（GCD）计算上有所改进。该实现使用Xilinx Virtex II FPGA的16600个切片，支持GF(2^113)上的2类超椭圆曲线（HEC），在45MHz的协处理器上，一次标量乘法需20.2ms。后续工作对其进行了进一步改进。

2002年，Lange推广了有限域上任意特征的HECC显式公式。该公式首先在32位嵌入式处理器（ARM7TDMI和PowerPC）上实现，其中求逆运算采用扩展欧几里得算法（EEA）。首个使用显式公式的HECC硬件实现也随后出现，通过使用混合坐标和简化曲线，性能得到进一步提升。还有一些使用射影坐标的ASIC实现，如Sakiyama提出的使用0.13 - μm CMOS技术的HECC协处理器，运行频率为500MHz，在GF(2^83)上一次标量乘法仅需63μs。使用仿射版本显式公式的HECC硬件实现则描述了目前最快的基于FPGA的HECC协处理器，它使用三个模乘器和两个模逆器，在Xilinx Virtex II FPGA（XC2V4000）上使用7785个切片，时钟频率可达56.7MHz，在GF(2^81)上一次标量乘法需415μs。

2. 数学背景

2.1 超椭圆曲线密码学

超椭圆曲线是代数曲线的特殊类别，可视为椭圆曲线的推广。当亏格g = 1时，超椭圆曲线即为椭圆曲线，一般情况下，超椭圆曲线的亏格g ≥ 1。

考虑GF(2^m)上亏格g = 2的超椭圆曲线C，其方程形式为：
[C : y^