张量是什么，张量与张量分量，张量与矩阵

最新推荐文章于 2025-06-23 17:16:47 发布

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本文深入探讨了张量的现代数学定义，包括多重线性函数的概念，解释了张量与张量分量之间的关系，并详细阐述了张量分量的用处及变换规则。通过实例说明，帮助读者理解张量在物理学中的核心地位及其计算方法。

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作者：郭诚
链接：http://www.zhihu.com/question/20695804/answer/64920043
来源：知乎

看过了大家的回答，感觉Andrew Shen的回答很物理，"A tensor is something that transforms like a tensor! " 确实是物理学家对待张量的实际做法。之后更数学些提到了张量是线性变换的概念，但是没有更深入下去。李旻昊的回答简洁：多重线性函数，确实是张量的现代定义，但是没有阐释。这里把张量的现代定义阐释一下，这种定义方式更直接、更清晰一些。

旧的物理书中常定义张量为一些带下标的对象的集合，这些对象按照特定的方式变换，变换规则可以借助下标写出。但是这种定义并不能提供更多的洞见：究竟张量是什么。特别地，这种定义带来两种误解：其一，张量的定义由它的变换性质来定义（怎么变），让人难以捉摸这个实体本身（是什么）。其二，张量由分量来定义，而不像是一个脱离基底存在的实体。物理学家们一直用张量的分量形式计算，很少区分张量和矩阵。诚然分量形式运算起来很方便，但是不能对运算的对象有整体的把握。

现代的数学观点定义：张量是多重线性函数， T(v_1,v_2,...,v_r)

，输入r个向量，输出1个数，r称作张量的阶数。多重线性是指张量对于每个参数都是线性的,对于单个参数就是： T(u+c v) = T(u)+cT(v)

,其中

是任意向量，

是任意数。多重线性是张量的核心性质，张量的旧定义（按变换方式定义）、张量的分量形式（如2阶张量的矩阵表示）、我们熟悉的张量的诸多性质，都可以从多重线性这一条推出。

一、张量与张量分量

一言以蔽之，张量的分量就是张量作用在相应的一组基矢上的值。例如，二阶张量T的一个分量： $T_{xx} = T(\hat x, \hat x)$ ， $\hat x$ 为

方向基矢量。

下面以 Levi–Civita 张量为例，解释张量与张量的分量的关系。Levi–Civita 符号 $\epsilon_{ijk}$ 通常只被看作数学上的方便。但实际上它是 Levi–Civita 张量的分量。

定义三阶张量 $\epsilon (u,v,w)$ 为 u,v,w

三个矢量张成的平行六面体的有向面积：
$\epsilon (u,v,w) = (u\times v)\cdot w$
易见满足它多重线性，故而是一个张量。输入三个矢量，输出一个数。

取基矢量 $\hat x, \hat y, \hat z$ ,为方便记作 $e_1, e_2, e_3$
定义三阶张量的分量
$\epsilon_{ijk} = \epsilon(e_i,e_j,e_k)$
容易验证它就是原始定义的 Levi–Civita 符号 $\epsilon_{ijk}$ ！

以上例子告诉我们：

1. Levi–Civita 符号不仅是数学上的方便，而且是 Levi-Civita 张量（体积张量）的分量。 $\epsilon_{ijk}$ 的几何解释是 $e_i, e_j, e_k$ 张成的平行六面体的有向体积。

2. 张量的分量就是张量作用在对应的一组基矢上的值。

3. 张量本身不依赖于任何基矢，但是张量的分量直接依赖于基矢的选择。 $\epsilon$ 张量计算的是平行六面体的体积，显然不依赖于基矢。

二、张量分量的用处

张量的多重线性的一个重要后果是：给定向量空间的一组基，如 $\{\hat x, \hat y, \hat z\}$ , 一个张量

完全由张量的分量，也即张量作用在这组基上的值决定。

具体以一般的二阶张量为例，计算二阶张量 T(u,v)

为任意矢量。

$u = u_i e_i, v = v_j e_j$ （Einstein 求和约定）
$T(u,v) = T(u_i e_i, v_j e_j) = u_i v_j T(e_i,e_j) =u_i v_j T_{ij}$

第二个等式是由于多重线性，第三个等式用到了张量分量 $T_{ij}$ 的定义。

注意到张量的旧定义中，上述结果是定义的一部分，写成矩阵的形式更加熟悉。

三、张量分量的变换

以一般的二阶张量为例，解释张量的现代定义如何推导出张量分量的变换规则。而在过去张量分量的变换规则被视为张量的定义。

我们从旧基矢 $\{e_1, e_2, e_3\}$ 换到新基矢 $\{e_1', e_2', e_3'\}$ :
$e_i' = A_{ij} e_j$

基矢的转换不影响张量

，但影响张量的分量。例如：
$T_{i'j'} = T(e_i',e_j') = T(A_{ik}e_k,A_{jl}e_l) = A_{ik}A_{jl}T(e_k,e_l) = A_{ik}A_{jl}T_{kl}$

这就是二阶张量的变换规则，也是二阶张量的旧定义。新定义下这是张量的多重线性和张量分量定义的推论。

以上变换性质可以简单推广到r阶张量的情形。

四、张量与矩阵

张量是多重线性函数，矩阵是张量在一组特定基矢下的表示。

仍以一般二阶张量为例，给定一组基矢 $\{\hat x, \hat y, \hat z\}$ ，将张量的所有分量写成矩阵形式：

$[T] = \left( \begin{array}{ccc} T_{xx} \ T_{xy} \ T_{xz} \\ T_{yx} \ T_{yy} \ T_{yz} \\ T_{zx} \ T_{zy} \ T_{zz} \end{array} \right)$

张量作用在任意矢量上的运算可以用矩阵写作：

$T(u,v) = (u_x \ u_y \ u_z)\left( \begin{array}{ccc} T_{xx} \ T_{xy} \ T_{xz} \\ T_{yx} \ T_{yy} \ T_{yz} \\ T_{zx} \ T_{zy} \ T_{zz} \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} v_x \\ v_y\\ v_z \end{array} \right)$

满足通常的矩阵乘法。张量的矩阵表示大大方便了张量的运算。

需要强调的是，张量

的矩阵表示是依赖于所选的基矢的，而张量

作为多重线性函数是个抽象的实体，本身不依赖于基矢。