codeforces 123 D String(后缀自动机 SAM)

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后缀自动机

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本文介绍了一种使用后缀自动机解决特定字符串问题的方法。该问题要求计算一个字符串中所有子串出现次数的累加和。通过构建后缀自动机并采用拓扑排序更新子串出现次数，实现了高效求解。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

http://codeforces.com/problemset/problem/123/D

题意：给你一个字符串S，定义一个函数F(S,x)，其中x为S中的字串，F(S,x)的定义太麻烦啦，其实就是设x在S中出现了n次，则F(S,x)=n*(n+1)/2。要你求对于所有的x，F(S,x)的和。

思路：裸的后缀自动机吧，首先设num为SAM中一个状态所表示的子串的出现次数，这个由拓扑排序然后自底向上更新即可，然后对于每一个状态(设为p)，它所表示的串一共有p->val-p->par->val+1个，然后再乘上p->num*(p->num+1)/2就得到了对于状态p中F(S,x)的和。（这里的x是p状态所标示的子串），然后对于每一个状态都这么求，就可以得到答案了。因为SAM的状态数是O(n)的，所以时间复杂度也为O（n）的。下面是代码。

#include <iostream>
#include <string.h>
#include <stdio.h>
#define maxn 200010
#define Smaxn 26
#define inf 21000000
using namespace std;
struct node
{
    node *par,*go[Smaxn];
    int num;
    int val;
}*root,*tail,que[maxn],*top[maxn];
int tot;
char str[100010];
void add(int c,int l)
{
    node *p=tail,*np=&que[tot++];
    np->val=l;
    while(p&&p->go[c]==NULL)
    p->go[c]=np,p=p->par;
    if(p==NULL) np->par=root;
    else
    {
        node *q=p->go[c];
        if(p->val+1==q->val) np->par=q;
        else
        {
            node *nq=&que[tot++];
            *nq=*q;
            nq->val=p->val+1;
            np->par=q->par=nq;
            while(p&&p->go[c]==q) p->go[c]=nq,p=p->par;
        }
    }
    tail=np;
}
int c[maxn],len;
void init()
{
    memset(que,0,sizeof(que));
    tot=0;
    len=1;
    root=tail=&que[tot++];
}
void solve()
{
    memset(c,0,sizeof(c));
    int i;
    for(i=0;i<tot;i++)
    c[que[i].val]++;
    for(i=1;i<len;i++)
    c[i]+=c[i-1];
    for(i=0;i<tot;i++)
    top[--c[que[i].val]]=&que[i];
    for(node *p=root;;p=p->go[str[p->val]-'a'])
    {
        p->num=1;
        if (p->val==len-1)break;
    }
    for(i=tot-1;i>=0;i--)
    {
        node *p=top[i];
        if(p->par)
        {
            node *q=p->par;
            q->num+=p->num;
        }
    }
    long long ans=0;
    for(i=1;i<tot;i++)
    {
        node *p=top[i];
        int tmp=p->val-p->par->val,sum=p->num;
        ans+=(long long)tmp*((long long)sum*(sum+1)/2);
    }
    printf("%I64d\n",ans);
}
int main()
{
    freopen("dd.txt","r",stdin);
    scanf("%s",str);
    int l=strlen(str),i;
    init();
    for(i=0;i<l;i++)
    {
        add(str[i]-'a',len++);
    }
    solve();
    return 0;
}