<think>我们正在分析LeetCode118题“杨辉三角”的多种解法，并分析每种解法的时间复杂度和空间复杂度（使用C++实现）。根据引用内容，我们已知：1.引用[1]指出时间复杂度为$O(numRows^2)$，空间复杂度为$O(n)$（但这里空间复杂度可能有误，因为杨辉三角需要存储整个二维数组，所以空间复杂度应该是$O(n^2)$）。2.引用[2][3][4]的代码实现都是使用二维数组，并明确时间和空间复杂度为$O(n^2)$（其中n是行数）。3.引用[5]是杨辉三角II（只返回第k行），但本题要求生成整个三角。题目要求：生成一个numRows行的杨辉三角。杨辉三角的性质：-第i行（从0开始）有i+1个数。-每行的第一个和最后一个数都是1。-对于中间的元素，满足：triangle[i][j]=triangle[i-1][j-1]+triangle[i-1][j]我们将介绍三种常见解法，并分析复杂度：解法一：动态规划（二维数组法）——即用户提供的代码-描述：使用二维数组存储每一行，按照杨辉三角的递推关系填充。-时间复杂度：$O(n^2)$，因为需要填充$n$行，且第i行有$i$个元素（不包括首尾固定为1的元素，但整体操作次数为$\sum_{i=0}^{n-1}(i+1)=\frac{n(n+1)}{2}\inO(n^2)$。-空间复杂度：$O(n^2)$，因为存储了整个二维数组（杨辉三角的所有元素）。解法二：动态规划（一维数组滚动更新）——优化空间复杂度-描述：我们注意到，计算第i行时，只需要第i-1行的数据。因此，我们可以只维护一个一维数组（上一行），然后不断更新当前行，并将当前行保存到结果中。-但是，由于题目要求返回整个杨辉三角（所有行），所以我们必须存储每一行，因此空间复杂度无法优化到$O(n)$以下（至少需要$O(n^2)$存储结果）。所以这种方法在空间复杂度上并没有优化（结果空间是必须的）。-注意：如果题目像119题（杨辉三角II）一样只要求返回第k行，那么我们可以用$O(k)$的空间完成。但本题要求返回所有行，所以空间复杂度必然为$O(n^2)$。解法三：数学公式法（组合数）-描述：杨辉三角的第i行第j列（行列均从0开始）的值为组合数$C(i,j)$。因此，我们可以直接计算每个位置的值。-公式：$C(i,j)=\frac{i!}{j!\cdot(i-j)!}$，但是直接计算阶乘可能会导致溢出，而且计算阶乘的时间复杂度较高。-优化计算：我们可以用递推关系计算组合数：$C(i,j)=C(i,j-1)\times(i-j+1)/j$，这样避免阶乘。-时间复杂度：$O(n^2)$，因为要计算$n$行，每行最多$n$个元素，每个元素需要常数时间计算（递推关系）。-空间复杂度：$O(n^2)$（存储整个结果）。但是，解法三在实现时需要注意：-由于整数除法可能产生小数，但组合数一定是整数。因此，在递推计算中，我们可以保证整除（因为每一步都是整数乘法再除以整数，且能整除）。-然而，在C++中，整数除法在整除时是安全的，但要注意乘法可能溢出（使用`int`可能不够，但题目没有指定范围，通常numRows较小，如不超过30，则不会溢出）。然而，引用[2][3][4]都采用了二维数组的动态规划方法，这是最常见且易于理解的。因此，我们总结：-解法一（二维数组动态规划）是最直接的方法。-解法二（滚动数组）在本题中并不能降低空间复杂度（因为需要返回所有行），但在只要求输出一行时有效（如119题）。-解法三（组合数）在数学上直接，但实际实现可能不如动态规划简单，且可能有溢出问题。所以，在LeetCode118题中，通常采用解法一。现在，我们分析用户提供的代码（即解法一）：-代码逻辑：vector<vector<int>>res(numRows);//创建有numRows行的二维vectorfor(inti=0;i<numRows;i++){res[i].resize(i+1,0);//每行调整大小为i+1，并初始化为0res[i][0]=res[i][i]=1;//首尾置1}for(inti=2;i<numRows;i++){//从第三行（下标2）开始for(intj=1;j<i;j++){res[i][j]=res[i-1][j-1]+res[i-1][j];//递推关系}}-时间复杂度：$O(n^2)$。外层循环执行了$n-2$次（从2到n-1），内层循环对于第i行执行了$i-1$次。所以总操作次数为$\sum_{i=2}^{n-1}(i-1)=\frac{(n-2)(n-1)}{2}\inO(n^2)$。另外，初始化部分循环了$n$行，每行初始化时间为$O(i)$（resize操作），初始化总时间也是$O(n^2)$。因此整体是$O(n^2)$。-空间复杂度：$O(n^2)$，因为存储了整个二维数组（结果），数组总元素数为$\frac{n(n+1)}{2}\inO(n^2)$。引用[1]中提到的空间复杂度为$O(n)$，这可能是错误的，因为结果需要$O(n^2)$空间。除非引用[1]只计算了额外辅助空间（但题目要求返回结果，结果空间通常计入空间复杂度），所以这里我们认为是$O(n^2)$。引用[4]明确指出时间和空间复杂度均为$O(n^2)$。因此，用户提供的代码的时间复杂度为$O(n^2)$，空间复杂度为$O(n^2)$。下面我们给出三种解法的C++代码示例（但注意解法二在本题中空间复杂度无法优化，所以我们只给出解法和分析，代码实现与解法一类似，因为必须存储每一行）。解法一：动态规划（二维数组）——用户代码，已给出解法二：动态规划（滚动数组，但用于生成每一行）——注意，由于需要保存每一行，所以空间复杂度不变，但可以节省中间计算时的额外空间（实际上解法一也不需要额外空间，因为直接使用上一行已经计算好的结果）。所以解法二的代码与解法一几乎一样，只是内层循环从后往前计算可以避免覆盖，但本题中我们不需要覆盖，因为要保存所有行。所以解法二在本题中不适用（或者没有优势）。解法三：组合数（递推计算）-代码示例：vector<vector<int>>generate(intnumRows){vector<vector<int>>res;for(inti=0;i<numRows;i++){vector<int>row(i+1);row[0]=1;//第一个元素为1//利用组合数递推关系：C(i,j)=C(i,j-1)*(i-j+1)/jfor(intj=1;j<=i;j++){//注意：这里用乘法递推，注意顺序和整数除法row[j]=(long)row[j-1]*(i-j+1)/j;}res.push_back(row);}returnres;}-注意：乘法可能会溢出，所以我们使用`long`转换。但题目中numRows一般不会太大（比如不超过30），所以不会溢出。-复杂度：同样$O(n^2)$时间和$O(n^2)$空间。总结：LeetCode118题主要有两种有效解法：动态规划（递推）和组合数法，时间和空间复杂度均为$O(n^2)$。相关问题：1.如果只需要返回杨辉三角的第k行（LeetCode119题），如何优化空间复杂度到$O(k)$？2.杨辉三角在组合数学中有哪些应用？例如，如何利用杨辉三角计算二项式展开的系数？3.杨辉三角与斐波那契数列之间有什么联系？</think>### LeetCode 118 杨辉三角：解法、时间与空间复杂度分析（C++）
#### 一、题目要求
生成 `numRows` 行的杨辉三角，每个数是其左上方和右上方数的和。
示例：
输入：`numRows = 5`
输出：
```
[[1],
[1,1],
[1,2,1],
[1,3,3,1],
[1,4,6,4,1]]
```
---
#### 二、三种解法及复杂度分析
##### 解法一：动态规划（二维数组）— **最优推荐**
```cpp
class Solution {
public:
vector<vector<int>> generate(int numRows) {
vector<vector<int>> res(numRows);
for (int i = 0; i < numRows; i++) {
res[i].resize(i + 1, 0); // 初始化当前行
res[i][0] = res[i][i] = 1; // 边界置1
for (int j = 1; j < i; j++) { // 填充中间元素
res[i][j] = res[i - 1][j - 1] + res[i - 1][j];
}
}
return res;
}
};
```
- **时间复杂度**：$O(n^2)$
需要填充 $\sum_{i=0}^{n-1} (i+1) = \frac{n(n+1)}{2}$ 个元素，属于平方级增长[^4]。
- **空间复杂度**：$O(n^2)$
存储整个杨辉三角，元素总数 $\frac{n(n+1)}{2}$[^3]。
##### 解法二：组合数公式（数学法）
```cpp
class Solution {
public:
vector<vector<int>> generate(int numRows) {
vector<vector<int>> res;
for (int i = 0; i < numRows; i++) {
vector<int> row;
for (int j = 0; j <= i; j++) {
row.push_back(combination(i, j)); // 计算组合数C(i,j)
}
res.push_back(row);
}
return res;
}
private:
int combination(int n, int k) {
long res = 1; // 避免乘法溢出
for (int i = 1; i <= k; i++) {
res = res * (n - i + 1) / i; // 递推公式
}
return (int)res;
}
};
```
- **时间复杂度**：$O(n^3)$
计算每个元素 $C(i,j)$ 需 $O(j)$ 时间，总操作数 $\sum_{i=0}^{n-1}\sum_{j=0}^{i} j = O(n^3)$。
- **空间复杂度**：$O(n^2)$（存储结果）。
##### 解法三：递归（不推荐）
```cpp
class Solution {
public:
vector<vector<int>> generate(int numRows) {
if (numRows == 1) return {{1}};
vector<vector<int>> prev = generate(numRows - 1);
vector<int> newRow(numRows, 1);
for (int j = 1; j < numRows - 1; j++) {
newRow[j] = prev.back()[j - 1] + prev.back()[j];
}
prev.push_back(newRow);
return prev;
}
};
```
- **时间复杂度**：$O(n^2)$
递归深度 $O(n)$，每层计算量 $O(n)$。
- **空间复杂度**：$O(n^2)$（存储结果 + 递归栈 $O(n)$）。
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#### 三、复杂度对比总结
| 解法 | 时间复杂度 | 空间复杂度 | 适用场景 |
|--------------|------------|------------|------------------|
| 动态规划 | $O(n^2)$ | $O(n^2)$ | 最优解，代码简洁 |
| 组合数公式 | $O(n^3)$ | $O(n^2)$ | 数学理论验证 |
| 递归 | $O(n^2)$ | $O(n^2)$ | 教学演示 |
> **推荐解法**：动态规划（解法一）是标准解法，时间/空间复杂度已达理论最优[^4]。
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#### 四、杨辉三角的性质与应用
1. **性质**：
- 第 $n$ 行第 $k$ 个元素为组合数 $C(n,k)$[^2]。
- 对称性：$C(n,k) = C(n, n-k)$。
2. **应用**：
- 计算二项式展开系数：$(a+b)^n$ 的系数即第 $n$ 行[^2]。
- 概率论：二项分布的概率计算。
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