梯度、散度、旋度

梯度、散度和旋度的定义及公式表达

梯度是个向量

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或表示为

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散度是个标量

设有一个向量场

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通量可写为

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则散度

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并有运算关系式

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旋度是个向量

rotA或curlA

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或可以写成

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例如求F沿路径r做的功

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矢量的环流:矢量沿闭合回路的线积分称为环流

说明:哈密顿算符? ,只是个符号,直接作用函数表示梯度,?dotA点乘函数(矢量)表示散度,?XA叉乘函数(矢量)表旋度。


散度指流体运动时单位体积的改变率。简单地说,流体在运动中集中的区域为辐合,运动中发散的区域为辐散。 其计算也就是我们常说的“点乘”。 散度是标量,物理意义为通量源密度。

散度物理意义:对流体来说,就是流体的形状虽然改变,但是由于散度为0,则其面积或体积不变。如下式

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梯度物理意义:最大方向导数(速度)

散度物理意义:对流体来说,散度指流体运动时单位体积的改变率。就是流体的形状虽然改变,但是由于散度为0,则其面积或体积不变。

旋度物理意义:旋度是曲线,向量场旋转的程度。矢量的旋度是环流面密度的最大值,与面元的取向有关。


 
附:

散度为零,说明是无源场;散度不为零时,则说明是有源场(有正源或负源)

若你的场是一个流速场,则该场的散度是该流体在某一点单位时间流出单位体积的净流量. 如果在某点,某场的散度不为零,表示该场在该点有源,例如若电场在某点散度不为零,表示该点有电荷,若流速场不为零,表是在该点有流体源源不绝地产生或消失(若散度为负).

一个场在某处,沿着一无穷小的平面边界做环积分,平面法向量即由旋度向量给定,旋度向量的长度则是单位面积的环积分值.基本上旋度要衡量的是一向量场在某点是否有转弯.

 

 

 

 

梯度: 运算的对像是纯量,运算出来的结果会是向量在一个纯量场中,梯度的计算结果会是"在每个位置都算出一个向量,而这个向量的方向会是在任何一点上从其周围(极接近的周围,学过微积分该知道甚么叫极限吧?)

 

纯量值最小处指向周围纯量值最大处.

 

而这个向量的大小会是上面所说的那个最小与最大的差距程度"

 

举例子来讲会比较简单,如果现在的纯量场用一座山来表示,

 

纯量值越大的地方越高,反之则越低.经过梯度这个运操作数的运算以后,

 

会在这座山的每一个点上都算出一个向量,这个向量会指向每个点最陡的

 

那个方向,而向量的大小则代表了这个最陡的方向到底有多陡.

 

散度: 运算的对像是向量,运算出来的结果会是纯量

 

散度的作用对像是向量场,

 

如果现在我们考虑任何一个点(或者说这个点的周围极小的一块区域),

 

在这个点上,向量场的发散程度,

 

如果是正的,代表这些向量场是往外散出的.

 

如果是负的,代表这些向量场是往内集中的.

 

一样,举例子:

 

因为散度的作用对像是向量场,所以就不能用上面所讲的山来想象,

 

这次要想象一个大广场里挤了很多人,如果每个人都在到处走动,

 

是不是可以把每个人的行动都看成是一个向量,

 

假如现在某人放了一个屁,周围的人(可能包含他自己)都想要赶快闪远一点,

 

就会发现,在这块区域的人都往这小块区域以外的方向移动.

 

对啦..这就是散度(你也可以想说是闪远一点的闪度....冷....),

 

大家如果散得越快,散得人越多,这个散度算出来就就越大.

 

旋度: 运算的对像是向量,运算出来的结果会是向量

 

旋度的作用对象也是向量场,这次直接用上面的例子来讲:

 

如果现在散开的众人都是直直的往那个屁的反方向散开,

 

这时候你看到这些人的动线是不是就是一个标准的幅射状??

 

不过事实上,每个人在闻到屁的时候是不会确切的知道

 

屁到底是来自哪个方向的.

 

而可能会走错方向,试过之后才发现不对劲,越找越臭.

 

这时候你看到众人的走向不见得就是一个幅射状(大家都径向移动),

 

而可能有一些切向移动的成份在(以屁发点为中心来看)

 

旋度对应的就是这些切向移动的情况,相对来讲,

 

散度对应的其实就是径向移动的情况.

 

而一个屁,虽然可能会像上述的造成一些切向的移动,

 

但理论上来讲,并不会使散开的众人较趋向于顺时钟转,或逆时钟转.

 

在这种情况,顺时钟转的情况可以看作与逆时钟转的情况抵消,

 

因此,在这情况下,旋度仍然是零.

 

也就是说,一个屁能造成散度,而不会造成旋度....

 

而甚么时候是有旋度的呢??

 

如果这时候音乐一放,

 

大家开始围着中间的营火手拉手跳起土风舞(当然是要绕着营火转的那种啦)

 

这时候就会有旋度没有散度啦.(刚刚一直放屁的那位跑出去找厕所的除外)

 

以上这三个,有一点一定要记得的.

 

不论是梯度,散度,旋度,都是一种local的量(纯量,向量),

 

所考虑的都是任何一点(其周围极接近,极小的小范围)的情况.

 

以上举的例子因为要容易了解,所以都是针对二度空间向量为例,

 

而且都是很大的东西,但广场是一个点,营火晚会也是一个点,

 

纳须弥于芥子,这就请自行想象吧.

 

### 梯度旋度的数学概念解释 #### 梯度 梯度是一个矢量算子,用于描述标量场的变化率。对于给定的一个多变量实值函数 \( f(x,y,z) \),其梯度定义为该函数在某一点处的最大变化率的方向及其大小。具体来说,在直角坐标系下,如果有一个二元或三元可微分函数,则可以按照如下方式求得梯度: \[ \nabla f =\left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}\right)^T \] 这里 \( \nabla \) 是哈密顿算符(del),而上标的 T 表示转置操作。 #### 用来衡量向量场中某个位置附近通量源强或者汇合的程。简单理解就是考察单位体积内的净流出量。在一个三维空间里,假设存在一个连续可微的向量场 \( \mathbf{F}(x, y, z)=(F_x,F_y,F_z) \),那么这个向量场在任意点 P 的表达式为: \[ \operatorname{div} (\mathbf {F})=\nabla \cdot {\mathbf {F}}={\frac {{\partial F_{x}}}{{\partial x}}}+{\frac {{\partial F_{y}}}{{\partial y}}}+{\frac {{\partial F_{z}}}{{\partial z}}} \][^2] 当上述结果大于零时表示此处有正贡献于外流;小于零则意味着此区域内部物质正在聚集形成负源。 #### 旋度 为了更好地阐述旋度这一概念,先提及环量的概念。环量是指速沿封闭路径积分的结果,在流体动力学领域尤为重要。对于一个位于固定边界 C 上流动着的理想不可压缩液体而言,它的环流量可通过下面公式来计算: \[ \Gamma = \oint_C \mathbf v \cdot d\mathbf r \] 其中 \( \mathbf v \) \( d\mathbf r \) 分别代表局部线速以及位移增量。基于这样的背景信息之后再来看待旋度本身:它是表征旋转性质的一种量化指标,反映了围绕特定轴转动的趋势。设有一光滑定向曲面 S 及其边缘 L 组成一对偶结构,并且已知穿过S表面的瞬时流速分布情况,则对应于此系统的平均角动量密可以通过取极限的方式得到: \[ \lim _{|L|\to 0}{\frac {1}{|A|}}\iint _{S}({\boldsymbol {\omega }}\times {\hat {\mathbf n}})\;d^{2}r=rot\,\mathbf A \] 这里的 rot 即指代旋度运算符,\( |A| \) 表面积元素,\( \hat{\mathbf{n}} \) 法向单位矢量[^3]。 ```python import numpy as np from sympy import symbols, diff # 定义符号变量 x, y, z = symbols('x y z') def gradient(f): """ 计算并返回f关于xyz坐标的梯度 """ grad_f = [diff(f, var) for var in (x, y, z)] return np.array(grad_f) def divergence(F): """ 对输入的向量场F=[Fx,Fy,Fz], 返回其""" div_F = sum([diff(component, coord) for component, coord in zip(F, (x, y, z))]) return div_F def curl(F): """ 输入向量场F=[Fx,Fy,Fz], 输出对应的curl""" i,j,k=symbols('i j k') matrix=[ [i,j,k], [*map(diff,(F[0],F[1],F[2]),(x,y,z))], [*[coord.diff()for coord in (x,y,z)]] ] result=np.linalg.det(np.matrix(matrix)) return list(result.expand().as_coefficients_dict().items())[::3] ```
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