【HDU 6714】最短路2（Dijkstra）

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图论--最短路

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本文介绍了一种利用Dijkstra算法优化Floyd算法的方法，通过计算最短路径上最小的最大下标来解决特定问题，实现了O(n^2log(n))的复杂度。

题面

题意：

对于 $f l o y e d$ 算法， $D_{i,j}$ 表示最外层循环最小的能够求出来 $dis_{i,j}$ 的循环次数，计算 $\sum_{i=1}^{n}{\sum_{j=1}^{n}{D_{i,j}}}$

思路

其实 $D_{i,j}$ 即为 $i$ 到 $j$ 的最短路路径上最小的不包含 $i, j$ 的最大下标。我们跑 $n$ 次 $D i j k s t r a$ ，每次更新路径上的最小的最大下标即可。复杂度 $O(n^2log(n))$ 。

代码

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;
typedef long long ll;
inline bool read(ll &num) {
    char in;bool IsN=false;
    in=getchar();
    if(in==EOF) return false;
    while(in!='-'&&(in<'0'||in>'9')) in=getchar();
    if(in=='-'){ IsN=true;num=0;}
    else num=in-'0';
    while(in=getchar(),in>='0'&&in<='9'){
            num*=10,num+=in-'0';
    }
    if(IsN) num=-num;
    return true;
}
const ll  N = 3005;
vector<pair<ll,ll> > G[N];
struct node{
    ll id;
    ll DIS;
};
ll dis[N],n,m,u,v,w,pre[N],mx[N];
bool vis[N];
bool operator<(node a,node b){
    return a.DIS>b.DIS;
}
ll dij(ll st){
    priority_queue<node> q;
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    for(ll i=1;i<=n;i++) dis[i]=999999999999999;
    for(ll i=1;i<=n;i++) pre[i]=999999999999999;
    for(ll i=1;i<=n;i++) mx[i]=0;
    dis[st]=0;
    q.push({st,0});
    while(!q.empty()){
        node rt=q.top();q.pop();
        ll u=rt.id;
        if(vis[u]) continue;
        vis[u]=1;
        for(auto V:G[u]){
            ll v=V.first;
            ll w=V.second;
            if(dis[v]>dis[u]+w){
                dis[v]=dis[u]+w;
                q.push({v,dis[v]});
                mx[v]=max(mx[u],u);
            }
            else if(dis[v]==dis[u]+w){
            	mx[v]=min(mx[v],max(mx[u],u));
            }
            if(u==st) mx[v]=0;
        }
    }
    ll res=0;
    for(int i=1;i<=n;i++) res+=mx[i];
    	return res;
}
int main(){
    ll T;
    read(T);
    while(T--){
        read(n);read(m);
        for(int i=1;i<=n;i++) G[i].clear();
        for(ll i=1;i<=m;i++){
            read(u);read(v);read(w);
            G[u].push_back({v,w});
            G[v].push_back({u,w});
        
      }  ll ans=0;
        for(ll i=1;i<=n;i++){
        	ans+=dij(i);
        }
        printf("%lld\n",ans%998244353);
    }
    return 0;
}