《剑指offer》-[第2章：面试需要的基础知识 - 2.4：算法与数据操作- 2.4.2：递归与循环] 题9：斐波那契数列的应用

1、问题描述

一只青蛙，一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级台阶，问青蛙跳上n级台阶共有多少种跳法。

2、解题思路

• 思路1：假设只有1级台阶，那么跳法就只有一种，即f(1)=1，如果有2级台阶，那么跳法有两种，第一种是分两次跳，每次只跳1级；第二种方法是一次跳两级。当n>2时，第一次跳有两种选择：一是第一次只跳1级，此时的跳法数目等于后面n-1级台阶的跳法数目f(n-1)；二是第一次跳2级，此时的跳法数目等于后面n-2级台阶的跳法数目f(n-2)。所以n级台阶的跳法数目f(n)=f(n-1)+f(n-2)。明显这是一个斐波那契数列。

3、相关题目

• （1）青蛙跳台阶问题的变形：一只青蛙，一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级，…，也可以跳上n级台阶，问青蛙跳上n级台阶共有多少种跳法。
• 分析：由数学归纳法可以得到此时的跳法$f(n)=2^{n-1}$。
• （2）使用i个2*1大小的小矩形去覆盖2 * i大小的大矩形，问共有多覆盖方法。
• 分析：这明显也是斐波那契数列数列的应用，覆盖2 * i大小的矩形，有两种选择：第一种是先用1块2 * 1大小的小矩形竖着覆盖大矩形的第i列，然后再用i-1块小矩形覆盖剩下的2 * ( i-1）大小的大矩形；第二种是先用2块 2 * 1 大小的小矩形横着并排覆盖大矩形的第i-1和第i列，然后再用i-2块2*1大小的矩形覆盖剩下的2 * ( i-2）大小的大矩形，所以最终的覆盖方法数f(i) = f(i-1) + f(i-2)。
• （3）n颗骰子的点数。求n个骰子可能投出的每一个点数之和出现的次数。比如，6个骰子可能投出的点数之和为6-24，1出现的次数为1。