《剑指offer》-[第5章：优化时间与空间效率-5.1：时间效率]-题31：连续子数组的最大和

1、问题描述

输入一个整型数组，数组里有正也有负。数组中一个或连续多个整数组成一个子数组。求所有子数组和的最大值。要求时间复杂度为$O(n)$。

2、解题思路

• 边界条件：（1）输入整型数组为空，返回空；

• 为了让思路更清晰，先举个例子：
  假设输入的整型数组为{−1，2，−3}\{-1，2，-3\}{−1，2，−3}
  该整型数组的子数组分为以下几种情况：
  （1）以-3结尾：{−3}，{2，−3}，{−1，2，−3}\{-3\}，\{2，-3\}，\{-1，2，-3\}{−3}，{2，−3}，{−1，2，−3};
  （2）以2结尾：{2}，{−1，2}\{2\}，\{-1，2\}{2}，{−1，2}；
  （3）以-1结尾：{−1}\{-1\}{−1}

• 思路1：最简单的方法是枚举出所有的子数组，然后一一算出这些子数组的和，最后取其中的最大值。对于一个长度为n的整型数组，其子数组的个数为$\frac{n(n-1)}{2}$，所以这种方法的时间复杂度为$O(n^2)$，由于题目限制时间复杂度为$O(n)$，所以思路明显不行。

• 思路2：这道题可以采用动态规划来做。设$S[i]$表示整型数组中以第$i$个数结尾的子数组的最大和，则相应的状态转移方程如下：
  $$S[i]=\{\begin{array}{ll}data[i]& ifS[i-1]\le 0ori==0\\ S[i-1]+data[i]& ifS[i-1]>0andi!=0\end{array}$$
  这个方程的意义是：当以第$i-1$个数结尾的子数组中所有数字的和小于零时，如果把这个负数和第$i$个数相加，得到得结果会比第$i$个数本身还要小，所以这种情况下，以第$i$个数结尾的子数组就是第$i$个数本身。如果以第$i-1$个数结尾的子数组中所有数字的和大于零，那么与第i个数累加就得到了以第$i$个数结尾的子数组中所有数字的和。

3、代码实现

public class Solution {
     public int FindGreatestSumOfSubArray(int[] array) {

        if(array == null || array.length == 0){
            return 0;
        }

        int [] sum = new int[array.length];
        sum[0] = array[0];

        for (int i=1;i<array.length;i++){
            if (sum[i-1] <=0){
                sum[i] = array[i];
            }
            else {
                sum[i] = sum[i-1]+array[i];
            }

        }
        int maxsumofsubarray = sum[0];
        for (int j=1;j<sum.length;j++){
            if(sum[j] > maxsumofsubarray){
                maxsumofsubarray = sum[j];
            }
        }
        return maxsumofsubarray;

    }
}