通用算法 -[排序算法] -希尔排序

1、算法由来

我们知道，简单插入排序在数据规模较小和数据基本有序时十分高效。
那如果数据规模较大，并且无序时，有什么样的方法可以提高简单插入排序的效率呢？
希尔排序正是为此而生，它通过构造(1)小规模数据和(2)让数据基本有序的条件来达到高效排序。

2、算法思想

希尔排序的基本思想是分组进行插入排序。即每次根据增量序列（从大到小）中的一个增量值，将数组划分成若干组，然后对这若干组分别进行简单插入排序。直到数组有序位置。
以数组array=[5,7,8,3,1,2,4,6]为例，希尔算法的具体过程如下：
（1）首先它把较大的数据集合分割成若干个小组（逻辑上分组），然后对每一个小组分别进行插入排序，此时，插入排序所作用的数据量比较小（每一个小组），插入的效率比较高。

可以看出，他是按下标相隔距离为4分的组，也就是说把下标相差4的分到一组，比如这个例子中a[0]与a[4]是一组、a[1]与a[5]是一组…，这里的差值（距离）被称为增量

(2) 每个分组进行插入排序后，各个分组就变成了有序的了（整体不一定有序）

此时，整个数组变的部分有序了（有序程度可能不是很高）

(3) 然后缩小增量为上个增量的一半:2，继续划分分组，此时，每个分组元素个数多了，但是，数组变的部分有序了，插入排序效率同样比高。

同理对每个分组进行排序（插入排序），使其每个分组各自有序

(4) 最后设置增量为上一个增量的一半：1，则整个数组被分为一组，此时，整个数组已经接近有序了，插入排序效率高

同理，对这仅有的一组数据进行排序，排序完成

3、代码实现

希尔排序分组实现：

template<typename T>
void shellSort(T* array,int len){
	//对数组进行分组，最开始的增量(gap)为数组长度的一半;
	for (int gap = len / 2; gap >= 1; gap = gap / 2){
		//对以gap为增量形成的分组进行插入排序
		for (int i = gap; i < len; i++){
			insertSort(array, i, gap);
		}
	}
}

组内进行插入排序实现：

template<typename T>
void insertSort(T* array, int i, int gap){
	/*
	将array[i]插入到所在分组的正确位置上；
	array[i]所在的分组：
	...array[i-gap*2],array[i-gap],array[i],array[i+gap],array[i+gap*2]...
	*/
	
	/*写法1：
	T inserted = array[i];
	int j = i - gap;
	while (j >= 0 && inserted < array[j]){
		array[j + gap] = array[j];
		j -= gap;
	}*/

	/*写法2：*/
	T inserted = array[i];
	int j;
	for (j = i - gap; j >= 0 && inserted < array[j]; j -= gap){
		array[j + gap] = array[j];
	}
	array[j + gap] = inserted;

}

4、算法分析

• 时间复杂度：希尔排序的复杂度和增量序列是相关的。
  {1,2,4,8,...}\{1,2,4,8,...\}{1,2,4,8,...}这种序列并不是很好的增量序列，使用这个增量序列的时间复杂度（最坏情形）是$O(n^2)$，Hibbard提出了另一个增量序列{1,3,7，...,2k−1}\{1,3,7，...,2^k-1\}{1,3,7，...,2k−1}，这种序列的时间复杂度(最坏情形)为$O(n^{1.5})$，Sedgewick提出了几种增量序列，其最坏情形运行时间为$O(n^{1.3})$,其中最好的一个序列是{1,5,19,41,109,...}\{1,5,19,41,109,...\}{1,5,19,41,109,...}。
• 空间复杂度：$O(1)$。
• 稳定性：简单插入虽是稳定的，但希尔排序是不稳定的，详细原因见下图。