动态规划实现正则递归匹配：处理嵌套模式的高级技巧

动态规划实现正则递归匹配

动态规划在正则表达式匹配问题中能有效处理嵌套模式，尤其是涉及递归结构的匹配。以下是实现方法：

定义状态与转移方程
设 dp[i][j] 表示输入字符串 s 的前 i 个字符与模式 p 的前 j 个字符是否匹配。初始化 dp[0][0] = true，表示空字符串匹配空模式。

• 当 p[j-1] != '*' 时： [ dp[i][j] = dp[i-1][j-1] \ \text{且} \ (s[i-1] == p[j-1] \ \text{或} \ p[j-1] == '.') ]
• 当 p[j-1] == '*' 时： [ dp[i][j] = dp[i][j-2] \ \text{（匹配0次）} \ \text{或} \ (dp[i-1][j] \ \text{且} \ (s[i-1] == p[j-2] \ \text{或} \ p[j-2] == '.')) ]

处理嵌套递归
对于嵌套模式如 (a*)*，需扩展状态定义。引入三维数组 dp[i][j][k]，其中 k 表示嵌套深度。每次遇到开括号 ( 时增加深度，闭括号 ) 时减少深度，并在状态转移中考虑当前深度的匹配。

代码实现示例（Python）

def isMatch(s: str, p: str) -> bool:
    m, n = len(s), len(p)
    dp = [[False] * (n + 1) for _ in range(m + 1)]
    dp[0][0] = True

    for i in range(m + 1):
        for j in range(1, n + 1):
            if p[j-1] == '*':
                dp[i][j] = dp[i][j-2] or (i > 0 and dp[i-1][j] and (s[i-1] == p[j-2] or p[j-2] == '.'))
            else:
                dp[i][j] = i > 0 and dp[i-1][j-1] and (s[i-1] == p[j-1] or p[j-1] == '.')
    return dp[m][n]

优化与边界处理

• 剪枝策略：提前终止无效状态的计算，如当 p 剩余字符无法覆盖 s 的剩余长度时。
• 记忆化搜索：对于复杂嵌套模式，可采用递归+记忆化替代动态规划，减少状态数。