数字信号处理(二)离散时间信号的傅里叶变换

什么是离散时间傅里叶变换

离散时间傅里叶变换（英语：Discrete-time Fourier Transform，简称：DTFT）是傅里叶变换的一种。它将以离散时间nT（其中，T为采样间隔）作为变量的函数（离散时间信号）变换到连续的频域，即产生这个离散时间信号的连续频谱，值得注意的是这一频谱是周期的。

序列的离散时间傅里叶变换

序列的离散时间傅里叶变换（DTFT）的定义为：
$$X(e^{j\omega })=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n)e^{-j\omega n}$$
DTFT成立的充分必要条件是序列x(n)满足绝对可和：
$$\sum _{n=-\infty }^{\infty }|x(n)|<\infty$$
逆变换的公式，记为IDTFT：
$$x(n)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }X(e^{j\omega })e^{j\omega n}d\omega$$

序列的离散时间傅里叶变换的性质

1、DTFT的周期性

在如下定义式中，n取整数，
$$X(e^{j\omega })=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n)e^{-j\omega n}$$
因此下式成立，其中M为整数
$$X(e^{j\omega })=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n)e^{-j(\omega +2\pi M)n}$$
序列的离散时间傅里叶变换的周期是2$\pi$。因此一般只分析$-\pi $~ $\pi$之间的DTFT。

2、线性

设$X_1(e^{j\omega })=DTFT[x_1(n)]$

​ $X_2(e^{j\omega })=DTFT[x_{2}n)]$

那么

D T F T [ a x 1 ( n ) + b x 2 ( n ) ] = a X 1 ( e j ω ) + b X 2 ( e j ω ) DTFT[ax_1(n)+bx_2(n)]=aX_1(e^{j\omega})+bX_2(e^{j\omega}) DTFT[ax1​(n)+bx2​(n)]=aX1​(e