背包问题详解-动态规划

前言
网上的背包问题已经写了很多，但是感觉不是很详细，很多细节虽然提了一下，但是没有讲透彻，因此我写下这篇笔记。
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背包问题（knapsack problem）是一个非常典型的考察动态规划应用的题目，对其加上不同的限制和条件，可以衍生出诸多变种，若要全面理解动态规划，就必须对背包问题了如指掌。

01背包问题

最基本问题描述指01背包问题：

一共有N件物品，第i（i从1开始）件物品的重量为w[i]，价值为v[i]。在总重量不超过背包承载上限C的情况下，能够装入背包的最大价值是多少？

暴力法

我们的目标是书包内物品的总价值，而变量是物品和书包的限重，所以我们可定义状态dp:

dp[i][j] 表示将前i件物品装进限重为j的背包可以获得的最大价值, 0<=i<=N, 0<=j<=W

首先将dp[0][0]、dp[0][1]....dp[0][W]初始化为0，表示将前0个物品（即没有物品）装入书包的最大价值为0。那么当 i > 0 时dp[i][j]有两种情况：

• 1 不装入第i件物品，即dp[i−1][j]；
• 2 装入第i件物品（前提是能装下），即dp[i−1][j−w[i]] + v[i]。

即状态转移方程为:

dp[i][j] = max(dp[i−1][j], dp[i−1][j−w[i]]+v[i]) // j >= w[i]

注意这里要保证j>=w[i],因此我们可以得到：

int knapsack(vector<int> v, vector<int> w, int n, int C )
{
   
   
	//初始化dp的值为0
    vector<vector<int> > dp(n, vector<int>(C + 1,0));
    
    for(int i = 1; i < =n; i++){
   
   
        for(int j = 1; j <= C ; j++){
   
   
            if(j < w[i]){
   
   
                dp[i][j] = f[i - 1][j]
            }
            else{
   
   
                dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - w[i]] + v[i]);
            }
        }
    }
    return dp[n ][C];
}

此时的时间和空间复杂度都是O(nC)

空间优化

我们来看一下这个程序是怎么运行的，如图所示，
N=5，C=11, value ={1，6，18，22，28}，weight={1，2，5，6，7}