2018.09.01 loj#2330. 「清华集训 2017」榕树之心（树形dp）

最新推荐文章于 2024-07-03 09:00:00 发布

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分类专栏： # 树形dp 文章标签： dp

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本文深入探讨了一道经典的树形DP题目，详细介绍了如何通过树形DP算法来解决榕树之心的问题。文中不仅给出了核心算法思路，还分享了具体的实现代码。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

传送门
树形dp好题啊。
我们用 $w[i]$ 表示以i为根的子树最少可以把在子树外的榕树之心向子树里拉多少距离。
我们令i最大的子树的根为 $ms$ 。
那么有几种情况：
1. $size[ms]$ 过大，用i其它的子树无法把榕树之心拉回到i去，这个时候有：
$w[i]=w[ms]-(size[i]-1-size[ms])$ 。
2. $size[ms]$ 不够大，用i其它子树可以把榕树之心拉回去，但有可能会让榕树之心多走一步。
因此有：
$w[i]=(size[i]-1)$ $mod$ $2$
这样我们可以推出w[1]~w[n]。
并且判断整棵树的根节点是否能被凑出。
接下来怎么做呢？
对于一个点i，我们需要判断它是否能被凑出。
我们令depth[i]表示i的深度，其中 $depth[root]=1$
首先，如果 $size[roott]-depth[i]$ 不是偶数，说明除开root~i这条路径外的其它点一定无法全部抵消，一定会剩下一个，因此最后榕树之心拉不到i节点上。
于是 $size[root]-depth[i]$ 应该为偶数，继续讨论。
这时我们需要把 $root->i$ 这条路径看成整个树的根节点，然后把其它的都看成自己的子树像之前求w数组时候那样讨论一下就ok了。
代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define mod 998244353
#define N 300005
#define rt 1
using namespace std;
inline int read(){
    int ans=0;
    char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch))ch=getchar();
    while(isdigit(ch))ans=(ans<<3)+(ans<<1)+(ch^48),ch=getchar();
    return ans;
}
int W,t,n,cnt=0,siz[N],first[N],mx1[N],mx2[N],dep[N],f[N],w[N],ans[N];
struct edge{int v,next;}e[N<<1];
inline void add(int u,int v){e[++cnt].v=v,e[cnt].next=first[u],first[u]=cnt;}
inline void dfs1(int p,int fa){
    siz[p]=1,mx1[p]=mx2[p]=0;
    for(int i=first[p];i;i=e[i].next){
        int v=e[i].v;
        if(v==fa)continue;
        dep[v]=dep[p]+1,dfs1(v,p),siz[p]+=siz[v];
        if(siz[mx1[p]]<siz[v])mx2[p]=mx1[p],mx1[p]=v;
        else if(siz[mx2[p]]<siz[v])mx2[p]=v;
    }
    if(siz[p]-1>=siz[mx1[p]]+w[mx1[p]])w[p]=(siz[p]-1)%2;
    else w[p]=w[mx1[p]]-(siz[p]-1-siz[mx1[p]]);
    ++w[p];
}
inline void dfs2(int p,int fa){
    ans[p]=0;
    if((siz[rt]-dep[p])%2==0){
        int v=f[p];
        if(siz[v]<siz[mx1[p]])v=mx1[p];
        if(siz[rt]-dep[p]-siz[v]-w[v]>=0)ans[p]=1;
    }
    for(int i=first[p];i;i=e[i].next){
        int v=e[i].v;
        if(v==fa)continue;
        f[v]=f[p];
        if(v!=mx1[p]&&siz[mx1[p]]>siz[f[v]])f[v]=mx1[p];
        else if(siz[mx2[p]]>siz[f[v]])f[v]=mx2[p];
        dfs2(v,p);
    }
}
int u,v;
int main(){
    W=read(),t=read();
    while(t--){
        n=read(),cnt=0,memset(first,0,sizeof(first));
        for(int i=1;i<n;++i)u=read(),v=read(),add(u,v),add(v,u);
        dep[1]=1,dfs1(1,1),f[1]=0,dfs2(1,1);
        if(W==3)putchar(ans[1]^48);
        else for(int i=1;i<=n;++i)putchar(ans[i]^48);
        puts(""); 
    }
    return 0;
}