[Datawhale X 李宏毅苹果书AI夏令营] 深度学习进阶 Task1

关注

原创 2024-09-01 14:41:56 1k 阅读 AI 写同款· GEO 优化 ›

用LangFuse+LangChain打造可观测的AI应用：从埋点到成本监控实战本文详细介绍了如何将开源可观测性平台LangFuse深度集成到基于LangChain构建的AI应用中，特别是电商客服机器人场景。通过从基础SDK集成、提示词管理到成本监控的完整实战，帮助开发者实现对LLM应用内部工作流的清晰追踪、问题排查与费用分析，从而打造稳定、可控的生产级AI应用。阅读详情

学习链接：Datawhale (linklearner.com)

本笔记记录了深度学习的一些基础概念

局部最小值与鞍点

做损失函数的优化时，经常会发现随着参数不断更新，训练的损失(Loss)不会再下降，但是我们对这个损失不满意，将训练模型替换为更深层的网络，发现损失可能还是做的不好-深层网络没有发挥全部力量。这就是所谓的优化失败。要理解优化失败的原因，就要了解局部最小值和鞍点的概念。

临界点及种类

常见的情况是，优化到某个地方，梯度为零，参数就不再更新了。此时可能有以下三种情况：跑到局部最小值(local minimum)了，跑到鞍点(saddle point)，跑到局部最大值。对于梯度为零的点，统一称为临界点(critical point)。梯度没有继续下降，也许只是收敛到了临界点（比如鞍点），而不一定是局部最小值。鞍点指的是该点梯度为零，往某些方向损失函数增大，某些方向损失函数减小，画出来图像马鞍：

判断临界值种类的方法

由于鞍点和局部最小值的梯度均为零，要区分他们需要引入新的参数。类似微积分学的极大值极小值判定定理，通过二阶微分判断将临界点继续分类。梯度为零时，可以用泰勒展开将损失函数在临界点 $\theta'$ 处展开： $L(\theta)\approx L(\theta')+(\theta-\theta')^Tg+\frac{1}{2}(\theta-\theta')^TH(\theta-\theta')$

其中g是L的一阶微分向量（n*1维，就是 $\theta$ 的维度），也可以写作 $\bigtriangledown L(\theta')$ ，其元素为 $g_i=\frac{\partial L(\theta')}{\partial \theta_i}$

H是海森矩阵（n*n维），其元素为： $H_{ij}=\frac{\partial ^2}{\partial \theta_i \partial \theta_j}L(\theta')$

由于临界点 $\theta'$ 处梯度为零，所以泰勒展开为：

$L(\theta)\approx L(\theta')+\frac{1}{2}(\theta-\theta')^TH(\theta-\theta')$

将 $(\theta-\theta')$ 记为 $v$ ，则可以将 $(\theta-\theta')^TH(\theta-\theta')$ 改写为 $v^THv$ 。

则临界点处泰勒展开又可以记为 $L(\theta)\approx L(\theta')+\frac{1}{2}v^THv$ 。临界点处有以下三种情况：

对于所有的 $v$ ，都有 $v^THv>0$ ，这意味着对于任意 $\theta$ ，都有 $L(\theta)>L(\theta')$ ，所以该临界点是局部极小值点
对于所有的 $v$ ，都有 $v^THv<0$ ，这意味着对于任意 $\theta$ ，都有 $L(\theta)<L(\theta')$ ，所以该临界点是局部极大值点
对于任意 $v$ ， $v^THv$ 有时候大于零，有时候小于零，这意味着对于有的 $\theta$ ，有 $L(\theta)>L(\theta')$ ，对于有的 $\theta$ ，有 $L(\theta)<L(\theta')$ ，所以该临界点是鞍点。

但是对于临界点，我们不可能将所有的v都拿来计算一遍，来判断临界点到底属于极大值还是极小值还是鞍点。此时只需要计算H的特征值即可。

由线性代数的知识，我们知道如果矩阵H所有特征值都是正数，则H是正定矩阵，则对所有的 $v$ ，都有 $v^THv>0$ ，对应临界点是局部极小值点。同样，如果H的特征值都是负数，则H是负定矩阵，对所有的 $v$ ，都有 $v^THv<0$ ，对应临界点是局部极大值点。如果特征值有正有负，则是鞍点。

因此，当梯度为0时，H可以告诉我们临界点的种类，同时还能告诉我们如果遇到鞍点，怎么更新参数可以逃离鞍点。下面举例说明（需要线性代数关于特征值、特征向量的知识，或者参见高中数学二维矩阵特征值、特征向量的介绍）：

假设 $\lambda$ （ $\lambda<0$ ）是H的一个特征值（H特征值有正有负，所以可以假设一个小于零的特殊值）， $u$ 是H对应该特征值的一个特征向量，即有 $Hu=\lambda u$ ，对于我们的优化问题，假设将临界点 $\theta'$ 更新为 $\theta$ ，我们这样来选择新的 $\theta$ ： $\theta=\theta'+u$ 。则 $L(\theta)\approx L(\theta')+\frac{1}{2}u^THu$ 中的第二项可以改写为： $\frac{1}{2}u^THu=\frac{1}{2}u^T \lambda u=\frac{1}{2} \lambda \left | u \right |^2<0$ ，则这样更新 $\theta$ 就可以使得Loss比原来降低，其实就是沿着特征值为负数的特征向量方向更新参数。

逃离鞍点的方法

局部最小值不容易遇到

首先要明确一点：随着维度的增加，几乎很难遇到局部最小值点，通常遇到的临界值点都是鞍点。也可以这样来理解，当你在低维度时觉得无路可走了，实际在更高维度的人看来，还有其他优化的途径。可以见下图：

这里可以引用一个概念：最小值比例。其定义是

对于局部最小值，最小值比例就应该是1，实际上，多数的临界点最小值比例都不会到1，最大也就处在0.5~0.6的范围，见下图：

所以可以说随着维度的增加，局部最小值问题就不会成为一个问题。

逃离鞍点方法

可以求海森矩阵，按照特征值为负数的特征向量方向更新参数。但这种方法计算量过大，很少有人用这种方法来逃离鞍点。
另一种逃离鞍点的方法是扰动梯度下降，就是在求得的梯度上加一个随机的微小扰动。
可以参考这篇报道
吴恩达导师Michael I.Jordan学术演讲：如何有效避开鞍点（视频+PPT）-36氪 (36kr.com)