动态规划最优二叉树

最优二叉搜索树（动态规划）

(2010-04-29 21:44:28)

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标签： 杂谈

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1，问题描述：给定一个有序序列K={k1<k2<k3<,……,<kn}和他们被查询的概率P={p1,p2,p3,……,pn}，要求构造一棵二叉查找树T，使得查询所有元素的总的代价最小。对于一个搜索树，当搜索的元素在树内时，表示搜索成功。当不在树内时，表示搜索失败，用一个“虚叶子节点”来标示搜索失败的情况，因此需要n+1个虚叶子节点{d0<d1<……<dn}。其中d0表示搜索元素小于k1的失败结果，dn表示搜索元素大于kn的失败情况。di（0<i<n）表示搜索节点在ki和k(i+1)之间时的失败情况。对于应di的概率序列是Q={q0,q1,……,qn}。

2，问题分析：

在二叉树中T内搜索一次的期望代价为：

E[T]=

         (depth(ki)+1)*pi  //对每个i=1~n，搜索成功情况

       +(depth(di)+1)*qi //对每个i=0~n，搜索失败情况

3，问题求解：动态规划

步骤一：寻找最优子结构。

一个最优二叉树的子树必定包含连续范围的关键字ki~kj，1<=i<=j<=n，同时也必须含有连续的虚叶子节点di-1~dj。

如果一棵最优二叉查找树T有一棵含有关键字ki~kj的子树T'，那么，T'也是一棵最优查找树，这通过剪贴思想可以证明。

现在开始构造最优子结构：在ki~kj中，选定一个r,i<=r<=j，使以kr为根，ki~k(r-1)和k(r+1)~kj为左右孩子的最优二叉树。注意r=i或者r=j的情况，表示左子树或右子树只有虚叶子节点。

步骤二：一个递归解。

定义e[i,j]为一棵包含关键字ki~kj的最优二叉树的期望代价。当j=i-1时没有真实的关键在，只有虚叶子节点d(i-1)。

于是：

当j=i-1时，e[i,i-1]=q(i-1)。

当j>=i时，需要选择合适的kr作为根节点，然后其余节点ki~K(r-1)和k(r+1)~kj构造左右孩子。这时要考虑左右孩子这些节点成为一个节点的子树后，它的搜索代价的变化：根据E[T]的计算，得知它们的期望代价增加了“子树中所有概率的总和”w。

w[i,j]=

          pl // 对每个l=i~j

        +ql //对每个l=i-1~j

于是当j>=i时，e[i,j]=pr + (e[i,r-1]+w[i,r-1])+(e[r+1,j]+w[r+1,j]) = e[i,r-1] + e[r+1,j]+w[i,j];

步骤三：计算最优二叉树的期望代价

e[i,j]=

          q(i-1)  //如果j=i-1

          min(e[i,r-1] + e[r+1,j]+w[i,j]),如果i<=j，其中i<=r<=j

w[i,j] =

           q(i-1) 如果j=i-1

            w[i,j]=w[i,j-1]+pj+qj 如果i<=j

实现代码如下：

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1 #include <iostream>  
2 using namespace std;  
3   
4 #define MAXNUM 100  
5 #define MAX 65536  
6 //p中为有序关键字k1到k5的搜索概率，k1<k2<k3<k4<k5  
7 double p[MAXNUM] = {0.00,0.15,0.10,0.05,0.10,0.20};  
8 double q[MAXNUM] = {0.05,0.10,0.05,0.05,0.05,0.10};  
9 void optimal_bst(double e[][MAXNUM],int root[][MAXNUM],double w[][MAXNUM],int n)  
10 {  
11         int i =0,j=0;  
12         //针对左或右孩子为空树情况初始化  
13         for(i = 1;i<=n+1;i++)  
14         {  
15                 e[i][i-1] = q[i-1];  
16                 w[i][i-1] = q[i-1];  
17         }  
18         int l = 0;  
19         //计算顺序如下：根据计算式：e[i,j] = e[i,r-1]+e[r+1,j  
             首先计算节点个数为1的最优二叉树的代价e[1,1],e[2,2]……  
             接着计算节点个数为1的最优二叉树的代价e[1,2],e[2,3]……  
             ……  
             最后计算结点个数为n的最优二叉树的代价e[1,n]，利用之前保存的较少结点最优二叉树的结果。  
20         for(l = 1;l<=n;l++)  
21         {  
22                 for(i = 1;i<=n-l+1;i++)  
23                 {  
24                         j = i+l-1;  
25                         e[i][j] = MAX;  
26                         w[i][j] = w[i][j-1] + p[j]+q[j];  
27                         for(int r = i;r<=j;r++)  
28                         {  
29                                 double t = 0;  
30                                 t = e[i][r-1]+e[r+1][j] + w[i][j];  
31                                 if(t<e[i][j])  
32                                 {  
33                                         e[i][j]= t;  
34                                         root[i][j] = r;  
35                                 }  
36                         }  
37   
38                 }  
39         }  
40   
41 }  
42 int main()  
43 {  
44         double e[MAXNUM][MAXNUM];  
45         int root[MAXNUM][MAXNUM];  
46         double w[MAXNUM][MAXNUM];  
47   
48         optimal_bst(e,root,w,5);  
49   
50         for(int i =1;i<=6;i++)  
51         {  
52                 for(int j = 0;j<=5;j++)  
53                 {  
54                         cout << e[i][j] << "  ";  
55                 }  
56                 cout << endl;  
57         }  
58 }