BITACM2018第一轮积分赛（三）题解

A. 很会dp

出题人： zhber
AC/TOT： 1/50

题解： 因为 $V$ 实在太大了，所以做背包 $dp$ 肯定不行，这一点在题目中已经很明显的提示了。那么另一种做法只能是暴力枚举每一个物品取还是不取。每件物品可以选取或不取，这样方案数会有 $2^n$，是不能接受的。注意到如果 $n$ 变成 $\frac{n}{2}$，暴力枚举似乎就可以接受了。再考虑到如果 $n$ 件物品分成两部分，分别以 $2^{\frac{n}{2}}$ 枚举这两部分的所有可能的体积之和，合并的时候不需要在两区间枚举各取什么再加起来，因为这样还是 $2^n$，而对于一个区间枚举取的是什么体积（假如取了体积是 $sum$ ），另一个区间排序之后直接二分小等于 $V-sum$ 的最大值即可。显然只有这个值对于 $sum$ 才是有用的，其他值要么加起来超过 $V$，要么加起来不如它优。因此对 $n$ 个物品折半之后分别暴力处理所有可能体积，然后枚举前半部分，在后半部分二分即可。这个算法有个专门的名字，叫meet-in-middle有兴趣的同学可以去学习一下“折半搜索”！

参考代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
int n,len;
ll a[40],V,ans;
ll s[200010];
inline ll bsearch(int l,int r,ll x)
{
    ll t=0;
    while (l<=r)
    {
        int mid=(l+r)>>1;
        if (s[mid]<=x)t=s[mid],l=mid+1;
        else r=mid-1;
    }
    return t;
}
int main()
{
    scanf("%d%lld",&n,&V);
    for (int i=1;i<=n;i++)scanf("%lld",a+i);
    for (int i=0;i<(1<<(n/2));i++)
    {
        ll sum=0;
        for (int j=1;j<=n/2;j++)
            if (i & (1<<(j-1)) )sum+=a[j];
        if(sum<=V)s[++len]=sum;
    }
    s[++len]=0;
    sort(s+1,s+len+1);
    ans=s[len];
    for (int i=0;i<(1<<(n-n/2));i++)
    {
        ll sum=0;
        for (int j=n/2+1;j<=n;j++)
            if (i & (1<<(j-n/2-1)) )sum+=a[j];
        if(sum<=V)ans=max(ans,sum+bsearch(1,len,V-sum));
    }
    printf("%lld\n",ans);
}

B. 秀外慧中

出题人： zhber
AC/TOT： 0/0

题解： 注意到只要各位有一个零，那么乘积就是零了。因此$t$是零与非零的情况分类讨论。

• 对于乘积为零的情况，考虑到用总方案数减去不合法方案数，即得到合法的方案数。总方案数是 $10^k$，不合法方案就是 $k$ 位都不是零，共 $9^k$ 个。所以答案就是 $10^k-9^k$。注意答案取模必须是非负的。
• 对于乘积不为零的情况，注意到填的数字只能是 $1...9$，那么$t$分解质因数其实只能有 $2、3、5、7$ 四个质因数，否则一定无解。如果 t=2a3b5c7dt=2^a3^b5^c7^dt=2