Codeforces - 831D. Office Keys - dp、二分+贪心-优快云博客

针对一个坐标轴上人员和钥匙的分布情况，采用动态规划、二分搜索与贪心算法来寻找所有人员拿到钥匙并进入办公室门所需的最短时间。

D. Office Keys

题目链接

分类：dp、二分、贪心

1.题意概述

一个坐标轴上有n个人，他们坐标分别为 $a[1...n]$ ，而且有k把钥匙坐标分别在 $b[1...k]$ ，现在办公室们在坐标为p的位置，每个人必须要拿到唯一一把钥匙进入办公室们，不同人之间不能共用，问你所有人进入办公室的最短时间是多少？
数据范围： $1 ≤ n ≤ 1 000, n ≤ k ≤ 2 000, 1 ≤ p ≤ 10^9, 1 ≤ a_i ≤ 10^9, 1 ≤ b_j ≤ 10^9$

2.解题思路

我们分别读入 a[1...n] 和 b[1...k] ，排序后观察，对于 ai≤aj ， bk≤bm ，如果将这两把钥匙分配给这两个人，要分配方式最优只可能 ai→bk,aj→bm ，因为如果 ai→bm,aj→bk ，那么最大的花费时间是 max(|ai−bm|+|bm−p|,|aj−bk|+|bk−p|) ，显然小于前者 max(|ai−bk|+|bk−p|,|aj−bm|+|bm−p|) ，白话去理解就是离门最近的人去拿最远的钥匙是不可取的。
- 有了这个性质，我们容易发现这就符合线性dp的最优子结构啊，然后n和k的数据范围也很开心，复杂度 $\textrm{O}(nk)$ ！
- 当然根据这样分配性质，我们也完全可以考虑二分答案+贪心分配，每个人都去取离他最左侧钥匙就行！这样做复杂度 $\textrm{O}(nklogm)$ 其中是钥匙最大长度。

3.AC代码

dp代码

#include <bits/stdc++.h>
#define INF 0x7fffffff
#define maxn 100010
#define lson root << 1
#define rson root << 1 | 1
#define lent (t[root].r - t[root].l + 1)
#define lenl (t[lson].r - t[lson].l + 1)
#define lenr (t[rson].r - t[rson].l + 1)
#define N 1111
#define eps 1e-6
#define pi acos(-1.0)
#define e exp(1.0)
#define Close() ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0)
using namespace std;
const int mod = 1e9 + 7;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
int a[N], b[N << 1], dp[N][N << 1];
int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("in.txt", "r", stdin);
    freopen("out.txt", "w", stdout);
    long _begin_time = clock();
#endif
    int n, k, p;
    scanf("%d%d%d", &n, &k, &p);
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        scanf("%d", &a[i]);
    for (int i = 1; i <= k; i++)
        scanf("%d", &b[i]);
    sort(a + 1, a + n + 1);
    sort(b + 1, b + k + 1);
    dp[0][0] = 0;
    for (int i = 1; i <= k; i++)
        dp[0][i] = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        dp[i][0] = INF;
        for (int j = 1; j <= k; j++)
            dp[i][j] = max(abs(a[i] - b[j]) + abs(b[j] - p), dp[i - 1][j - 1]);
        for (int j = 1; j <= k; j++)
            dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][j - 1]);
    }
    printf("%d\n", dp[n][k]);
#ifndef ONLINE_JUDGE
    long _end_time = clock();
    printf("time = %ld ms.", _end_time - _begin_time);
#endif
    return 0;
}

二分代码

#include <bits/stdc++.h>
#define INF 0x7fffffff
#define maxn 100010
#define lson root << 1
#define rson root << 1 | 1
#define lent (t[root].r - t[root].l + 1)
#define lenl (t[lson].r - t[lson].l + 1)
#define lenr (t[rson].r - t[rson].l + 1)
#define N 1111
#define eps 1e-6
#define pi acos(-1.0)
#define e exp(1.0)
#define Close() ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0)
using namespace std;
const int mod = 1e9 + 7;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
int a[N], b[N << 1], n, k, p;
bool check(ll x)
{
    int cnt = 0, next = 1;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = next; j <= k; j++)
            if (abs(a[i] - b[j]) + abs(b[j] - p) <= x)
            {
                next = j + 1;
                cnt++;
                break;
            }
    return cnt == n;
}
int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("in.txt", "r", stdin);
    freopen("out.txt", "w", stdout);
    long _begin_time = clock();
#endif

    scanf("%d%d%d", &n, &k, &p);
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        scanf("%d", &a[i]);
    for (int i = 1; i <= k; i++)
        scanf("%d", &b[i]);
    sort(a + 1, a + n + 1);
    sort(b + 1, b + k + 1);
    ll l = -1, r = INF, ans = 0;
    while (l <= r)
    {
        ll mid = l + r >> 1;
        if (check(mid))
        {
            ans = mid;
            r = mid - 1;
        }
        else
            l = mid + 1;
    }
    printf("%I64d\n", ans);
#ifndef ONLINE_JUDGE
    long _end_time = clock();
    printf("time = %ld ms.", _end_time - _begin_time);
#endif
    return 0;
}