HDU5396 - Expression - 区间dp、组合数学

最新推荐文章于 2020-11-16 21:25:16 发布

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本文介绍了一道关于区间动态规划和组合数学的问题，通过给定数值和操作符，利用动态规划的方法求解所有可能的计算顺序下表达式结果之和，并提供了一段AC代码作为实现示例。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Expression

题目链接

分类：区间dp、组合数学

1.题意概述

给你 $n(2≤n≤100)$ 个数和对应 $(n-1)$ 个操作符，你每次给操作符相邻两个数加括号直到运算结束，问你最终的方案结果数的和，答案模 $10^9+7$ 。

2.解题思路

n个操作符，计算顺序的排列组合有 $n!$ 种，根据n的范围显然搜索的复杂度是不能接受的，我们考虑区间dp： $dp[i][j]$ 为第i个数到第j个数的所有方案结果数的和，那么假设我们已经枚举到了区间 $[i,j]$ 考虑第 $k(i≤k≤j)$ 个操作符：

加法的转移方程：

$dp[i][j] = \sum \textrm{C}_{j-(i+1)}^{k-i}(dp[i][k]·[j-(k+1)]! + dp[k+1][j]·(k-i)!)$
- 阶乘表示加号左右侧的结果排列数，组合数表示区间取哪 $(k-i)$ 个数当作左侧！
减法的转移方程：

$dp[i][j] = \sum \textrm{C}_{j-(i+1)}^{k-i}(dp[i][k]·[j-(k+1)]! - dp[k+1][j]·(k-i)!)$
乘法的转移方程： $dp[i][j]=\sum \textrm{C}_{j-(i+1)}^{k-i}dp[i][k]·dp[k+1][j]$

3.AC代码

#include <bits/stdc++.h>
#define INF 0x3f3f3f3f
#define maxn 500010
#define lson root << 1
#define rson root << 1 | 1
#define lent (t[root].r - t[root].l + 1)
#define lenl (t[lson].r - t[lson].l + 1)
#define lenr (t[rson].r - t[rson].l + 1)
#define N 111
#define eps 1e-6
#define pi acos(-1.0)
#define e exp(1.0)
#define Close() ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0)
using namespace std;
const int mod = 1e9 + 7;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
ll dp[N][N], C[N][N], A[N], a[N];
char opt[N];
void init()
{
    C[1][0] = C[1][1] = C[0][0] = C[0][1] = 1;
    A[0] = A[1] = 1;
    for(int i = 1;i <= 101;i++)
        C[i][0] = C[i][i] = 1;
    for(int i = 2;i <= 101;i++)
    {
        A[i] = A[i - 1] * i % mod;
        for(int j = 1;j < i;j++)
            C[i][j] = (C[i - 1][j] + C[i - 1][j - 1]) % mod;
    }
}
int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("in.txt", "r", stdin);
    freopen("out.txt", "w", stdout);
    long _begin_time = clock();
#endif
    int n;
    init();
    while (~scanf("%d", &n))
    {
        memset(dp, 0, sizeof dp);
        for (int i = 1; i <= n; i++)
        {
            scanf("%I64d", &a[i]);
            dp[i][i] = (ll)a[i];
        }
        scanf("%s", opt + 1);
        for (int i = n; i >= 1; i--)
            for (int j = i + 1; j <= n; j++)
                for (int k = i; k < j; k++)
                    if(opt[k] == '+')
                        dp[i][j] = (dp[i][j] + (dp[i][k] * A[j - (k + 1)] % mod + dp[k + 1][j] * A[k - i] % mod) % mod * C[j - i - 1][k - i] % mod + mod) % mod;
                    else if(opt[k] == '-')
                        dp[i][j] = (dp[i][j] + (dp[i][k] * A[j - (k + 1)] - dp[k + 1][j] * A[k - i]) % mod * C[j - i - 1][k - i] % mod + mod) % mod;
                    else if(opt[k] == '*')
                        dp[i][j] = (dp[i][j] + (dp[i][k] * dp[k + 1][j] % mod) * C[j - i - 1][k - i] % mod + mod) % mod;
        printf("%I64d\n", dp[1][n]);
    }
#ifndef ONLINE_JUDGE
    long _end_time = clock();
    printf("time = %ld ms.", _end_time - _begin_time);
#endif
    return 0;
}