各种排序汇总

以下将详细介绍常见排序算法的排序过程，并给出对应的 C++ 代码实现。

1. 冒泡排序（Bubble Sort）

排序过程

• 比较相邻的元素。如果顺序错误（如升序排序中前一个元素比后一个大），就把它们交换过来。
• 对每一对相邻元素作同样的工作，从开始第一对到结尾的最后一对。这步做完后，最后的元素会是最大的数。
• 针对所有的元素重复以上的步骤，除了最后一个。
• 持续每次对越来越少的元素重复上面的步骤，直到没有任何一对数字需要比较。

C++ 代码

#include <iostream>
#include <vector>

void bubbleSort(std::vector<int>& arr) {
    int n = arr.size();
    for (int i = 0; i < n - 1; ++i) {
        for (int j = 0; j < n - i - 1; ++j) {
            if (arr[j] > arr[j + 1]) {
                std::swap(arr[j], arr[j + 1]);
            }
        }
    }
}

2. 选择排序（Selection Sort）

排序过程

• 在未排序序列中找到最小（大）元素，存放到排序序列的起始位置。
• 再从剩余未排序元素中继续寻找最小（大）元素，然后放到已排序序列的末尾。
• 以此类推，直到所有元素均排序完毕。

C++ 代码

#include <iostream>
#include <vector>

void selectionSort(std::vector<int>& arr) {
    int n = arr.size();
    for (int i = 0; i < n - 1; ++i) {
        int minIndex = i;
        for (int j = i + 1; j < n; ++j) {
            if (arr[j] < arr[minIndex]) {
                minIndex = j;
            }
        }
        std::swap(arr[i], arr[minIndex]);
    }
}

3. 插入排序（Insertion Sort）

排序过程

• 将第一待排序序列第一个元素看做一个有序序列，把第二个元素到最后一个元素当成是未排序序列。
• 从头到尾依次扫描未排序序列，将扫描到的每个元素插入有序序列的适当位置。如果待插入的元素与有序序列中的某个元素相等，则将待插入元素插入到相等元素的后面。

C++ 代码

#include <iostream>
#include <vector>

void insertionSort(std::vector<int>& arr) {
    int n = arr.size();
    for (int i = 1; i < n; ++i) {
        int key = arr[i];
        int j = i - 1;
        while (j >= 0 && arr[j] > key) {
            arr[j + 1] = arr[j];
            --j;
        }
        arr[j + 1] = key;
    }
}

4. 希尔排序（Shell Sort）

排序过程

• 选择一个增量序列 $t_1,t_2,\cdots ,t_k$，其中 $t_i>t_j$，$t_k=1$。
• 按增量序列个数 $k$，对序列进行 $k$ 趟排序。
• 每趟排序，根据对应的增量 $t_i$，将待排序列分割成若干长度为 $m$ 的子序列，分别对各子序列进行直接插入排序。仅增量因子为 1 时，整个序列作为一个表来处理，表长度即为整个序列的长度。

C++ 代码

#include <iostream>
#include <vector>

void shellSort(std::vector<int>& arr) {
    int n = arr.size();
    for (int gap = n / 2; gap > 0; gap /= 2) {
        for (int i = gap; i < n; ++i) {
            int temp = arr[i];
            int j;
            for (j = i; j >= gap && arr[j - gap] > temp; j -= gap) {
                arr[j] = arr[j - gap];
            }
            arr[j] = temp;
        }
    }
}

5. 归并排序（Merge Sort）

排序过程

• 分解：将当前区间一分为二，即求分裂点 mid = (low + high) / 2。
• 求解：递归地对两个子区间 a[low...mid] 和 a[mid + 1...high] 进行归并排序。递归的终结条件是子区间长度为 1。
• 合并：将已排序的两个子区间 a[low...mid] 和 a[mid + 1...high] 归并为一个有序的区间 a[low...high]。

C++ 代码

#include <iostream>
#include <vector>

void merge(std::vector<int>& arr, int left, int mid, int right) {
    int n1 = mid - left + 1;
    int n2 = right - mid;

    std::vector<int> L(n1), R(n2);

    for (int i = 0; i < n1; ++i) {
        L[i] = arr[left + i];
    }
    for (int j = 0; j < n2; ++j) {
        R[j] = arr[mid + 1 + j];
    }

    int i = 0, j = 0, k = left;
    while (i < n1 && j < n2) {
        if (L[i] <= R[j]) {
            arr[k] = L[i];
            ++i;
        } else {
            arr[k] = R[j];
            ++j;
        }
        ++k;
    }

    while (i < n1) {
        arr[k] = L[i];
        ++i;
        ++k;
    }

    while (j < n2) {
        arr[k] = R[j];
        ++j;
        ++k;
    }
}

void mergeSort(std::vector<int>& arr, int left, int right) {
    if (left < right) {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        mergeSort(arr, left, mid);
        mergeSort(arr, mid + 1, right);
        merge(arr, left, mid, right);
    }
}

6. 快速排序（Quick Sort）

排序过程

• 从数列中挑出一个元素，称为 “基准”（pivot）。
• 重新排序数列，所有元素比基准值小的摆放在基准前面，所有元素比基准值大的摆在基准的后面（相同的数可以到任一边）。在这个分区退出之后，该基准就处于数列的中间位置。这个称为分区（partition）操作。
• 递归地（recursive）把小于基准值元素的子数列和大于基准值元素的子数列排序。

C++ 代码

#include <iostream>
#include <vector>

int partition(std::vector<int>& arr, int low, int high) {
    int pivot = arr[high];
    int i = low - 1;
    for (int j = low; j < high; ++j) {
        if (arr[j] < pivot) {
            ++i;
            std::swap(arr[i], arr[j]);
        }
    }
    std::swap(arr[i + 1], arr[high]);
    return i + 1;
}

void quickSort(std::vector<int>& arr, int low, int high) {
    if (low < high) {
        int pi = partition(arr, low, high);
        quickSort(arr, low, pi - 1);
        quickSort(arr, pi + 1, high);
    }
}

7. 堆排序（Heap Sort）

排序过程

• 构建最大堆（升序排序）：将待排序序列构造成一个最大堆，此时，整个序列的最大值就是堆顶的根节点。
• 交换：将堆顶元素（最大值）与末尾元素交换，此时末尾元素就是最大值。
• 调整堆：将剩余 $n-1$ 个元素重新构造成一个堆，这样会得到 $n$ 个元素的次小值。如此反复执行，便能得到一个有序序列。

C++ 代码

#include <iostream>
#include <vector>

void heapify(std::vector<int>& arr, int n, int i) {
    int largest = i;
    int left = 2 * i + 1;
    int right = 2 * i + 2;

    if (left < n && arr[left] > arr[largest]) {
        largest = left;
    }

    if (right < n && arr[right] > arr[largest]) {
        largest = right;
    }

    if (largest != i) {
        std::swap(arr[i], arr[largest]);
        heapify(arr, n, largest);
    }
}

void heapSort(std::vector<int>& arr) {
    int n = arr.size();
    for (int i = n / 2 - 1; i >= 0; --i) {
        heapify(arr, n, i);
    }

    for (int i = n - 1; i > 0; --i) {
        std::swap(arr[0], arr[i]);
        heapify(arr, i, 0);
    }
}

8. 计数排序（Counting Sort）

排序过程

• 找出待排序的数组中最大和最小的元素。
• 统计数组中每个值为 $i$ 的元素出现的次数，存入数组 $C$ 的第 $i$ 项。
• 对所有的计数累加（从 $C$ 中的第一个元素开始，每一项和前一项相加）。
• 反向填充目标数组：将每个元素 $i$ 放在新数组的第 $C[i]$ 项，每放一个元素就将 $C[i]$ 减去 1。

C++ 代码

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>

void countingSort(std::vector<int>& arr) {
    if (arr.empty()) return;
    int max_val = *std::max_element(arr.begin(), arr.end());
    int min_val = *std::min_element(arr.begin(), arr.end());
    int range = max_val - min_val + 1;

    std::vector<int> count(range, 0);
    std::vector<int> output(arr.size());

    for (int num : arr) {
        ++count[num - min_val];
    }

    for (int i = 1; i < range; ++i) {
        count[i] += count[i - 1];
    }

    for (int i = arr.size() - 1; i >= 0; --i) {
        output[count[arr[i] - min_val] - 1] = arr[i];
        --count[arr[i] - min_val];
    }

    for (int i = 0; i < arr.size(); ++i) {
        arr[i] = output[i];
    }
}

9. 桶排序（Bucket Sort）

排序过程

• 设置一个定量的数组当作空桶。
• 遍历输入数据，并且把数据一个一个放到对应的桶里去。
• 对每个不是空的桶进行排序。
• 从不是空的桶里把排好序的数据拼接起来。

C++ 代码

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>

void bucketSort(std::vector<int>& arr) {
    if (arr.empty()) return;
    int min_val = *std::min_element(arr.begin(), arr.end());
    int max_val = *std::max_element(arr.begin(), arr.end());
    int num_buckets = arr.size();
    std::vector<std::vector<int>> buckets(num_buckets);

    for (int num : arr) {
        int bucket_index = (num - min_val) * num_buckets / (max_val - min_val + 1);
        buckets[bucket_index].push_back(num);
    }

    for (auto& bucket : buckets) {
        std::sort(bucket.begin(), bucket.end());
    }

    int index = 0;
    for (const auto& bucket : buckets) {
        for (int num : bucket) {
            arr[index++] = num;
        }
    }
}

10. 基数排序（Radix Sort）

排序过程

• 从最低位开始，依次进行每一位的排序。
• 对于每一位的排序，使用计数排序或桶排序等稳定排序算法。

C++ 代码

#include <iostream>
#include <vector>

void countingSortForRadix(std::vector<int>& arr, int exp) {
    int n = arr.size();
    std::vector<int> output(n);
    std::vector<int> count(10, 0);

    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        count[(arr[i] / exp) % 10]++;
    }

    for (int i = 1; i < 10; ++i) {
        count[i] += count[i - 1];
    }

    for (int i = n - 1; i >= 0; --i) {
        output[count[(arr[i] / exp) % 10] - 1] = arr[i];
        --count[(arr[i] / exp) % 10];
    }

    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        arr[i] = output[i];
    }
}

void radixSort(std::vector<int>& arr) {
    if (arr.empty()) return;
    int max_val = *std::max_element(arr.begin(), arr.end());
    for (int exp = 1; max_val / exp > 0; exp *= 10) {
        countingSortForRadix(arr, exp);
    }
}

以下是将各个排序方法的时间复杂度和空间复杂度汇总成表格，并在原代码基础上添加打印表格信息的功能。

排序算法	平均时间复杂度	最坏时间复杂度	最好时间复杂度	空间复杂度	稳定性
冒泡排序	$O(n^2)$	$O(n^2)$	$O(n)$	$O(1)$	稳定
选择排序	$O(n^2)$	$O(n^2)$	$O(n^2)$	$O(1)$	不稳定
插入排序	$O(n^2)$	$O(n^2)$	$O(n)$	$O(1)$	稳定
希尔排序	$O(n^{1.3})$ 到 $O(n^2)$ 之间	$O(n^2)$	取决于步长序列	$O(1)$	不稳定
归并排序	$O(nlogn)$	$O(nlogn)$	$O(nlogn)$	$O(n)$	稳定
快速排序	$O(nlogn)$	$O(n^2)$	$O(nlogn)$	$O(logn)$ 到 $O(n)$ 之间	不稳定
堆排序	$O(nlogn)$	$O(nlogn)$	$O(nlogn)$	$O(1)$	不稳定
计数排序	$O(n+k)$	$O(n+k)$	$O(n+k)$	$O(k)$	稳定
桶排序	$O(n+k)$	$O(n^2)$	$O(n+k)$	$O(n+k)$	取决于桶内排序算法
基数排序	$O(d(n+k))$	$O(d(n+k))$	$O(d(n+k))$	$O(n+k)$	稳定

以下是更新后的 C++ 代码：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>

// 冒泡排序
void bubbleSort(std::vector<int>& arr) {
    int n = arr.size();
    for (int i = 0; i < n - 1; ++i) {
        for (int j = 0; j < n - i - 1; ++j) {
            if (arr[j] > arr[j + 1]) {
                std::swap(arr[j], arr[j + 1]);
            }
        }
    }
}

// 选择排序
void selectionSort(std::vector<int>& arr) {
    int n = arr.size();
    for (int i = 0; i < n - 1; ++i) {
        int minIndex = i;
        for (int j = i + 1; j < n; ++j) {
            if (arr[j] < arr[minIndex]) {
                minIndex = j;
            }
        }
        std::swap(arr[i], arr[minIndex]);
    }
}

// 插入排序
void insertionSort(std::vector<int>& arr) {
    int n = arr.size();
    for (int i = 1; i < n; ++i) {
        int key = arr[i];
        int j = i - 1;
        while (j >= 0 && arr[j] > key) {
            arr[j + 1] = arr[j];
            --j;
        }
        arr[j + 1] = key;
    }
}

// 希尔排序
void shellSort(std::vector<int>& arr) {
    int n = arr.size();
    for (int gap = n / 2; gap > 0; gap /= 2) {
        for (int i = gap; i < n; ++i) {
            int temp = arr[i];
            int j;
            for (j = i; j >= gap && arr[j - gap] > temp; j -= gap) {
                arr[j] = arr[j - gap];
            }
            arr[j] = temp;
        }
    }
}

// 归并排序的合并函数
void merge(std::vector<int>& arr, int left, int mid, int right) {
    int n1 = mid - left + 1;
    int n2 = right - mid;

    std::vector<int> L(n1), R(n2);

    for (int i = 0; i < n1; ++i) {
        L[i] = arr[left + i];
    }
    for (int j = 0; j < n2; ++j) {
        R[j] = arr[mid + 1 + j];
    }

    int i = 0, j = 0, k = left;
    while (i < n1 && j < n2) {
        if (L[i] <= R[j]) {
            arr[k] = L[i];
            ++i;
        } else {
            arr[k] = R[j];
            ++j;
        }
        ++k;
    }

    while (i < n1) {
        arr[k] = L[i];
        ++i;
        ++k;
    }

    while (j < n2) {
        arr[k] = R[j];
        ++j;
        ++k;
    }
}

// 归并排序
void mergeSort(std::vector<int>& arr, int left, int right) {
    if (left < right) {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        mergeSort(arr, left, mid);
        mergeSort(arr, mid + 1, right);
        merge(arr, left, mid, right);
    }
}

// 快速排序的分区函数
int partition(std::vector<int>& arr, int low, int high) {
    int pivot = arr[high];
    int i = low - 1;
    for (int j = low; j < high; ++j) {
        if (arr[j] < pivot) {
            ++i;
            std::swap(arr[i], arr[j]);
        }
    }
    std::swap(arr[i + 1], arr[high]);
    return i + 1;
}

// 快速排序
void quickSort(std::vector<int>& arr, int low, int high) {
    if (low < high) {
        int pi = partition(arr, low, high);
        quickSort(arr, low, pi - 1);
        quickSort(arr, pi + 1, high);
    }
}

// 堆排序的堆化函数
void heapify(std::vector<int>& arr, int n, int i) {
    int largest = i;
    int left = 2 * i + 1;
    int right = 2 * i + 2;

    if (left < n && arr[left] > arr[largest]) {
        largest = left;
    }

    if (right < n && arr[right] > arr[largest]) {
        largest = right;
    }

    if (largest != i) {
        std::swap(arr[i], arr[largest]);
        heapify(arr, n, largest);
    }
}

// 堆排序
void heapSort(std::vector<int>& arr) {
    int n = arr.size();
    for (int i = n / 2 - 1; i >= 0; --i) {
        heapify(arr, n, i);
    }

    for (int i = n - 1; i > 0; --i) {
        std::swap(arr[0], arr[i]);
        heapify(arr, i, 0);
    }
}

// 计数排序
void countingSort(std::vector<int>& arr) {
    if (arr.empty()) return;
    int max_val = *std::max_element(arr.begin(), arr.end());
    int min_val = *std::min_element(arr.begin(), arr.end());
    int range = max_val - min_val + 1;

    std::vector<int> count(range, 0);
    std::vector<int> output(arr.size());

    for (int num : arr) {
        ++count[num - min_val];
    }

    for (int i = 1; i < range; ++i) {
        count[i] += count[i - 1];
    }

    for (int i = arr.size() - 1; i >= 0; --i) {
        output[count[arr[i] - min_val] - 1] = arr[i];
        --count[arr[i] - min_val];
    }

    for (int i = 0; i < arr.size(); ++i) {
        arr[i] = output[i];
    }
}

// 桶排序
void bucketSort(std::vector<int>& arr) {
    if (arr.empty()) return;
    int min_val = *std::min_element(arr.begin(), arr.end());
    int max_val = *std::max_element(arr.begin(), arr.end());
    int num_buckets = arr.size();
    std::vector<std::vector<int>> buckets(num_buckets);

    for (int num : arr) {
        int bucket_index = (num - min_val) * num_buckets / (max_val - min_val + 1);
        buckets[bucket_index].push_back(num);
    }

    for (auto& bucket : buckets) {
        std::sort(bucket.begin(), bucket.end());
    }

    int index = 0;
    for (const auto& bucket : buckets) {
        for (int num : bucket) {
            arr[index++] = num;
        }
    }
}

// 基数排序的计数排序辅助函数
void countingSortForRadix(std::vector<int>& arr, int exp) {
    int n = arr.size();
    std::vector<int> output(n);
    std::vector<int> count(10, 0);

    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        count[(arr[i] / exp) % 10]++;
    }

    for (int i = 1; i < 10; ++i) {
        count[i] += count[i - 1];
    }

    for (int i = n - 1; i >= 0; --i) {
        output[count[(arr[i] / exp) % 10] - 1] = arr[i];
        --count[(arr[i] / exp) % 10];
    }

    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        arr[i] = output[i];
    }
}

// 基数排序
void radixSort(std::vector<int>& arr) {
    if (arr.empty()) return;
    int max_val = *std::max_element(arr.begin(), arr.end());
    for (int exp = 1; max_val / exp > 0; exp *= 10) {
        countingSortForRadix(arr, exp);
    }
}

// 打印数组
void printArray(const std::vector<int>& arr) {
    for (int num : arr) {
        std::cout << num << " ";
    }
    std::cout << std::endl;
}

// 打印复杂度表格
void printComplexityTable() {
    std::cout << "| 排序算法 | 平均时间复杂度 | 最坏时间复杂度 | 最好时间复杂度 | 空间复杂度 | 稳定性 |" << std::endl;
    std::cout << "| --- | --- | --- | --- | --- | --- |" << std::endl;
    std::cout << "| 冒泡排序 | $O(n^2)$ | $O(n^2)$ | $O(n)$ | $O(1)$ | 稳定 |" << std::endl;
    std::cout << "| 选择排序 | $O(n^2)$ | $O(n^2)$ | $O(n^2)$ | $O(1)$ | 不稳定 |" << std::endl;
    std::cout << "| 插入排序 | $O(n^2)$ | $O(n^2)$ | $O(n)$ | $O(1)$ | 稳定 |" << std::endl;
    std::cout << "| 希尔排序 | $O(n^{1.3})$ 到 $O(n^2)$ 之间 | $O(n^2)$ | 取决于步长序列 | $O(1)$ | 不稳定 |" << std::endl;
    std::cout << "| 归并排序 | $O(n log n)$ | $O(n log n)$ | $O(n log n)$ | $O(n)$ | 稳定 |" << std::endl;
    std::cout << "| 快速排序 | $O(n log n)$ | $O(n^2)$ | $O(n log n)$ | $O(log n)$ 到 $O(n)$ 之间 | 不稳定 |" << std::endl;
    std::cout << "| 堆排序 | $O(n log n)$ | $O(n log n)$ | $O(n log n)$ | $O(1)$ | 不稳定 |" << std::endl;
    std::cout << "| 计数排序 | $O(n + k)$ | $O(n + k)$ | $O(n + k)$ | $O(k)$ | 稳定 |" << std::endl;
    std::cout << "| 桶排序 | $O(n + k)$ | $O(n^2)$ | $O(n + k)$ | $O(n + k)$ | 取决于桶内排序算法 |" << std::endl;
    std::cout << "| 基数排序 | $O(d(n + k))$ | $O(d(n + k))$ | $O(d(n + k))$ | $O(n + k)$ | 稳定 |" << std::endl;
}

int main() {
    std::vector<int> arr = {64, 34, 25, 12, 22, 11, 90};
    std::vector<int> tempArr;

    // 打印复杂度表格
    printComplexityTable();
    std::cout << std::endl;

    // 冒泡排序
    tempArr = arr;
    bubbleSort(tempArr);
    std::cout << "Bubble Sort: ";
    printArray(tempArr);

    // 选择排序
    tempArr = arr;
    selectionSort(tempArr);
    std::cout << "Selection Sort: ";
    printArray(tempArr);

    // 插入排序
    tempArr = arr;
    insertionSort(tempArr);
    std::cout << "Insertion Sort: ";
    printArray(tempArr);

    // 希尔排序
    tempArr = arr;
    shellSort(tempArr);
    std::cout << "Shell Sort: ";
    printArray(tempArr);

    // 归并排序
    tempArr = arr;
    mergeSort(tempArr, 0, tempArr.size() - 1);
    std::cout << "Merge Sort: ";
    printArray(tempArr);

    // 快速排序
    tempArr = arr;
    quickSort(tempArr, 0, tempArr.size() - 1);
    std::cout << "Quick Sort: ";
    printArray(tempArr);

    // 堆排序
    tempArr = arr;
    heapSort(tempArr);
    std::cout << "Heap Sort: ";
    printArray(tempArr);

    // 计数排序
    tempArr = arr;
    countingSort(tempArr);
    std::cout << "Counting Sort: ";
    printArray(tempArr);

    // 桶排序
    tempArr = arr;
    bucketSort(tempArr);
    std::cout << "Bucket Sort: ";
    printArray(tempArr);

    // 基数排序
    tempArr = arr;
    radixSort(tempArr);
    std::cout << "Radix Sort: ";
    printArray(tempArr);

    return 0;
}

在上述代码中，新增了 printComplexityTable 函数，用于打印各个排序算法的时间复杂度和空间复杂度表格。在 main 函数中，首先调用该函数打印表格，然后依次执行各个排序算法并输出排序结果。