量子力学中exp(A+B)=exp(A)exp(B)exp(-[A,B]/2)是恒等式吗？

量子力学算符有这么一个表达式$e^{A+B}=e^A{e}^B{e}^{-\frac{1}{2}[A,B]}$，实际上这只是一个近似表达式，它只在特殊情况下才是恒等式！这个特殊情况叫作disentangling theorem，当$[\hat{A},\hat{B}]̸=0$且$[\hat{A},[\hat{A},\hat{B}]]=[\hat{B},[\hat{A},\hat{B}]]=0$才成立！更一般的情况在下面讨论：

Baker–Campbell–Hausdorff (BCH) formula：

$$Z=\log (e^X{e}^Y)=X+Y+\sum _{m=2}^{\infty }{Z}_m(X,Y).$$其中$Z_m(X,Y)$是一个非对易算符$X,Y$构成的homogeneous Lie polynomial。前几项表达式为$$Z_2=\frac{1}{2}[X,Y],Z_3=\frac{1}{12}[X,[X,Y]]-\frac{1}{12}[Y,[X,Y]],Z_4=\frac{1}{24}[X,[Y,[Y,X]]].$$或者写到更高阶：

The Zassenhaus formula:

Zassenhaus在一篇未发表的文章里推导了一个公式，它可以看成是BCH formula的对偶公式：
$$e^{t(X+Y)}=e^{tX}{e}^{tY}{e}^{-\frac{t^2}{2}[X,Y]}{e}^{\frac{t^3}{6}(2[Y,[X,Y]]+[X,[X,Y]])}{e}^{\frac{-t^4}{24}([[[X,Y],X],X]+3[[[X,Y],X],Y]+3[[[X,Y],Y],Y])}\cdots$$这个公式的意义是，将两个不对易算符求和的指数改写成无穷多项算符指数形式的乘积，这种改写形式广泛应用于统计力学，多体理论，量子光学，路径积分等。文献[2]给出了计算高阶项的递归方法。

特别的，如果[X,Y]是李群的central，也就是它和任意群元都对易，在这里是和$X,Y$对易，则我们有$$e^X{e}^Y=e^{X+Y+\frac{1}{2}[X,Y]}.$$

量子力学应用示例

在量子光学中，optical phase space里一个mode的Displacement operator定义为: $$\hat{D}(\alpha )=e^{v{\hat{a}}^{†}-v^{\ast }\hat{a}}=e^{v{\hat{a}}^{†}}{e}^{-v^{\ast }\hat{a}}{e}^{-|v{|}^2/2},$$其中$\hat{a}$和${\hat{a}}^{†}$是湮灭和产生算符，且满足$[\hat{a},{\hat{a}}^{†}]=I$（是这个群的central），$v$是optical phase space位移大小的度量。最后一个等式不是近似而是精确的，用到了Zassenhaus formula的特殊情况。

The name of the displacement operator is derived from its ability to displace a localized state in phase space by a magnitude $\alpha$. It may also act on the vacuum state by displacing it into a coherent state. Specifically, $\hat{D}(\alpha )|0⟩=|\alpha ⟩$ where $|\alpha ⟩$ is a coherent state, which is an eigenstate of the annihilation (lowering) operator.

【Ref】
1.https://en.wikipedia.org/wiki/Baker–Campbell–Hausdorff_formula
2.(arxiv) Efficient computation of the Zassenhaus formula https://arxiv.org/pdf/1204.0389.pdf