树状数组 从入门到入坑 完整版

介绍

引入问题：

lowbit(x)

#define lowbit(x) x&(-x)

功能一：单点修改，单点查询，区间查询

一般操作：

tree 存放正常数组 for(i->n){ int x;cin>>x;add(i,x); }
1，单点修改，add(i,x)
2，单点查询，sum(i)
3，区间查询，sum( r )-sum(l-1)

#include<iostream>
using namespace std;

const int N=5e5+5;
int n,m;
int tree[N];

int lowbit(int x)
{
	return x&-x;
}

void add(int x,int k)
{
	while(x<=n)
	{
		tree[x]+=k;
		x+=lowbit(x);
	}
}

int sum(int x)
{
	int res=0;
	while(x)
	{
		res+=tree[x];
		x-=lowbit(x);
	}
	return res;
}

int main()
{
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++){
	    int x;cin>>x;add(i,x);
	}
	while(m--)
	{
		int op,x,y;
		cin>>op>>x>>y;
		if(op==1) add(x,y);
		else{
		    cout<<sum(y)-sum(x-1)<<endl;
		}
	}
	return 0;
}

功能一：区间修改，单点查询

一般操作：

tree 存放差分数组 for(i->n){ int x;cin>>a[i];add(i,a[i]-a[i-1]); }
1，区间修改，add(l,x) add(r+1,-x)
2，单点查询，sum( i )

#include<iostream>
using namespace std;

const int N=5e5+5;
int n,m;
int tree[N];
int a[N];//当差分数组

int lowbit(int x)
{
	return x&-x;
}

void add(int x,int k)
{
	while(x<=n)
	{
		tree[x]+=k;
		x+=lowbit(x);
	}
}

int sum(int x)
{
	int res=0;
	while(x)
	{
		res+=tree[x];
		x-=lowbit(x);
	}
	return res;
}

int main()
{
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++){
	    int x;cin>>a[i];add(i,a[i]-a[i-1]);
	}
	while(m--)
	{
		int op;cin>>op;
		if(op==1) {
		    int l,r,k;cin>>l>>r>>k;
		    add(l,k);add(r+1,-k);
		}
		else{
		    int x;cin>>x;cout<<sum(x)<<endl;
		}
	}
	return 0;
}

功能三：区间修改，区间查询

一般操作：

第一种 c2[i]=c1[i]*(i-1)

tree1 存放差分数组c1 tree2存c2*(i-1)
1，区间修改，add1(l,x) add1(r+1,-x) add2(l,(l-1)x) add2(r,-(r-1)*x)
2，区间查询，(r *sum1®-sum2®)-((l-1)*sum1(l-1)-sum2(l-1));

简单可证，

那么可以得到以下式子

a[1]+a[2]+…+a[i]

=c[1]+(c[1]+c[2])+…+(c[1]+c[2]+…+c[i])

=i*c[1]+(i-1)*c[2]+…+c[i]

=i*(c[1]+c[2]+…+c[i])-1*c[2]-…-(i-1)*c[i]

于是，我们再搞一个数组c1

那之前的式子就可以表示
对应代码：(r*sum1(r )-sum2(r ))-((l-1)*sum1(l-1)-sum2(l-1));

#include<iostream>
using namespace std;

typedef long long ll;
const int N=1e5+5;
int n,m;
int a[N];
ll t1[N],t2[N],c1[N],c2[N];

ll lowbit(int x)
{
    return x&-x;
}

void add1(int x,ll k)
{
    while(x<=n)
    {
        t1[x]+=k;
        x+=lowbit(x);
    }
}

ll sum1(int x)
{
    ll ans=0;
    while(x)
    {
        ans+=t1[x];
        x-=lowbit(x);
    }
    return ans;
}


void add2(int x,ll k)
{
    while(x<=n)
    {
        t2[x]+=k;
        x+=lowbit(x);
    }
}

ll sum2(int x)
{
    ll ans=0;
    while(x)
    {
        ans+=t2[x];
        x-=lowbit(x);
    }
    return ans;
}

int main()
{
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        cin>>a[i];
        c1[i]=a[i]-a[i-1];c2[i]=(i-1)*c1[i];
        add1(i,c1[i]);add2(i,c2[i]);
    }
    
    while(m--)
    {
        int op;cin>>op;
        if(op==1)
        {
            int l,r,x;cin>>l>>r>>x;
            add1(l,x);add1(r+1,-x);
            add2(l,(l-1)*x);add2(r+1,-r*x);
        }
        else{
            int l,r;cin>>l>>r;
            cout<<(r*sum1(r)-sum2(r))-((l-1)*sum1(l-1)-sum2(l-1))<<endl;
        }
    }
    return 0;
}

第二种 c2[i]=c1[i]*i 比较常用

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define ll long long
#define lowbit(x) x&(-x)
const int N=2e5;

int n,m;
ll a[N],t1[N],t2[N];

void add(int x,ll k)
{
    int t=x;
    while(x<=n){
        t1[x]+=k;t2[x]+=t*k;
        x+=lowbit(x);
    }
}

ll sum(int x)
{
    ll res=0;
    int t=x;
    while(x){
        res+=t1[x]*(t+1)-t2[x];
        x-=lowbit(x);
    }return res;
}

int main()
{
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        cin>>a[i];add(i,a[i]-a[i-1]);
    }
    while (m -- ){
        char op;cin>>op;
        if(op=='Q'){
            int x,y;cin>>x>>y;
            cout<<sum(y)-sum(x-1)<<endl;
        }else{
            int x,y;ll k;cin>>x>>y>>k;
            add(x,k);add(y+1,-k);
        }
    }
    return 0;
}