提高级源码：三柱汉诺塔相关扩展问题（百度帖吧）

 

 

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设盘子编号为１～N，编号大的尺寸大，有三根柱子１～３。

 

1、输出初始局面（所有盘子都在１号柱子）到终止局面（所有盘子都在３号柱子）的最优方案。
     时间复杂度：Ο(2^N)

 

 

 #include<stdio.h> int temp; void move(int n,char a,char b) { temp++; printf("Step %d:",temp); printf("/nMove Board %d from %c to %c/n",n,a,b); } void Hanoi(int n,char a,char b,char c) { if(n==1) move(1,a,c); else{ Hanoi(n-1,a,c,b); move(n,a,c); Hanoi(n-1,b,a,c); } } #include<stdio.h> int main() { int n; while(scanf("%d",&n),n!=-1){ temp=0; Hanoi(n,'A','B','C'); printf("It is a midway of the best solution and there is/are %d move(s) before./n",temp); } return 0; }

 

 

 

 

 2、输出最优方案中某一局面之前经过的步骤数。
    时间复杂度：Ο(N)

 #include <cstdio> #include <cstdlib> using namespace std; const int N = 1000; int pos[N+1], nmoves = 0; void move(int maxdisc, int src, int dst) { if (pos[maxdisc] == 6-src-dst) { fprintf(stderr, "error: this is not a midway of the best solution./n"); exit(1); } if (pos[maxdisc] == src) { if (maxdisc > 1) move(maxdisc-1, src, 6-src-dst); pos[maxdisc] = dst; } else { nmoves += 1 << maxdisc-1; if (maxdisc > 1) move(maxdisc-1, 6-src-dst, dst); } } int main() { int n; scanf("%d", &n); for (int i = 1; i <= n; ++i) scanf("%d", &pos[i]); move(n, 1, 3); printf("It is a midway of the best solution and there is/are %d move(s) before./n", nmoves); }

 

 

 

3、输出当前局面（不一定是最优解的中间步骤）到终止局面的最优方案。
    时间复杂度：Ο(2^N)

 #include <cstdio> #include <cstdlib> using namespace std; const int N = 1000; int pos[N+1], nmoves = 0; void move(int maxdisc, int src, int dst) { if (pos[maxdisc] == 6-src-dst) { fprintf(stderr, "error: this is not a midway of the best solution./n"); exit(1); } if (pos[maxdisc] == src) { if (maxdisc > 1) move(maxdisc-1, src, 6-src-dst); pos[maxdisc] = dst; } else { nmoves += 1 << maxdisc-1; if (maxdisc > 1) move(maxdisc-1, 6-src-dst, dst); } } int main() { int n; scanf("%d", &n); for (int i = 1; i <= n; ++i) scanf("%d", &pos[i]); move(n, 1, 3); printf("It is a midway of the best solution and there is/are %d move(s) before./n", nmoves); }

 

 

 

4、输出当前局面下，把所有盘子移动到任一根柱子的最优方案。
    时间复杂度：Ο(2^N)

 

 #include <cstdio> using namespace std; const int N = 1000; int pos[N+1], nmoves = 0; void move(int disc, int dst) { if (pos[disc] == dst) return; for (int i = disc-1; i; --i) move(i, 6-pos[disc]-dst); printf("%d: %d -> %d/n", disc, pos[disc], dst); pos[disc] = dst; ++nmoves; } int main() { int n; scanf("%d", &n); for (int i = 1; i <= n; ++i) scanf("%d", &pos[i]); for (int i = n-1; i; --i) move(i, pos[n]); printf("total moves: %d/n", nmoves); }

 

 

 

5、输出当前局面下，把所有盘子移动到任一根柱子的最优方案所需步数。
    时间复杂度：Ο(N)

    易知，必定把 1～N-1 移动到 N 处
    否则的话，需要至少 2^(N-1) 步，不会最优。
    所以 N 所在位置就是 目标柱子

    注意到如果 N、N-1、……、k+1 初始时都在同一个根柱子上，那就不用再管它们了。
    只需考虑 k、k-1、……、1

    之所以要移动 i，要么是为了给比它编号大的盘子让路，要么是因为要把它移动到目标柱子。
    所以，如果要把 i 移动到某根柱子 X，那么 i-1、i-2、……、1 也应该移动到 柱子 X

 #include <stdio.h> const int N = 10000; int cnt = 0, pos[N+1]; void move(int maxdisc, int dst) { if (!maxdisc) return; int src = pos[maxdisc], aux = 6-src-dst; if (src == dst) move(maxdisc-1, dst); else { move(maxdisc-1, aux); cnt += 1 << maxdisc-1; } } int main() { int n; scanf("%d", &n); for (int i = 1; i <= n; ++i) scanf("%d", &pos[i]); move(n-1, pos[n]); printf("%d/n", cnt); }

 

 

 

 

 

总结：总结一下，对于求方案的问题，因为最坏情况下步骤数可以达到Ο(2^N)，所以以上源码在渐进意义上达到最优复杂度。

        对于求步骤数（无须输出方案），以上源码时间复杂度都是Ο(N)，由于输入时间已达到Ο(N)，所以在渐进意义上也达到了最优复杂度。