关于拉格朗日对偶问题中对偶性的理解

本文深入探讨了拉格朗日函数及其在优化问题中的应用,特别是对偶问题的对偶性原理。通过对比标准形式线性规划和不等式形式线性规划及其对偶问题,解释了对偶性如何体现,并详细阐述了对偶问题具有对偶性的原因。文章还提供了数学证明,展示了如何通过调整拉格朗日函数的最小化和最大化的顺序来构造与原问题等价的优化问题。

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首先说明本文讨论用的符号,拉格朗日函数:

L(x,λ,ν)=f0(x)+λifi(x)+νihi(x)

对偶问题的对偶性体现

这个理解来自于斯坦福的课程——凸优化:

“我们注意到标准形式线性规划和不等式形式线性规划以及它们的对偶问题之间的有趣的对称性:标准形式线性规划的对偶问题是只含有不等式约束的线性规划问题,反之亦然。”
为了完整性,下面列出以上提到的两个线性规划问题。
标准形式线性规划:

mins.t.cTxAx=bx0

不等式形式线性规划:
maxs.t.bTνATν+c0

该理解说明了对偶问题真的具有对偶性,但是并没有说明对偶问题具有对偶性的原因。接下来将说明这一点。

对偶问题具有对偶性的原因

这个理解同样来自于斯坦福的课程——机器学习:

一句话总结:调换对偶问题中对拉格朗日函数取最大化、最小化的顺序即可得到与原问题等价的优化问题。即,对偶问题是对拉格朗日函数先取最小化,再取最大化;而原问题则是对拉格朗日函数先取最大化,再取最小化。

为了对比两优化问题之间的对偶性,我先列出对偶问题的形式:

gd(λ,ν)=minxL(x,λ,ν)d=maxλ0,νgd(λ,ν)
其中下标d表示对偶问题。考虑对换取最小化和最大化的顺序:
gp(x)=maxλ0,νL(x,λ,ν)p=minxgp(x)
其中下标p表示原问题。

定理:上式中p就是原问题的最优解。
证明:x不满足约束条件时:

  1. fi(x)>0gp(x)=
    只要对应的λi取无穷大即可。
    • hi(x)0gp(x)=
      只要对应的νi取无穷大或无穷小即可。
    • x满足约束条件时:
      hi(x)=0,所以νihi(x)=0fi(x)0,所以为了使gp(x)最大化,则必须有λifi(x)=0,因此gp(x)=f0(x)。总结得:

      gp(x)={f0(x)xelse
      因此p为原问题最优解。以上,证毕。
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