8、庞加莱回归与分形时间：混沌动力学中的时空奥秘

庞加莱回归与分形时间：混沌动力学中的时空奥秘

1. 混沌动力学中的收敛问题

在混沌动力学里，当 $t_N$ 和 $N$ 足够大时，(6.3.14) 式中 $\bar{f}$ 和 $\langle f \rangle$ 的结果会近似相同。不过，混沌动力学随机过程的自相似性以及系统相空间中准陷阱的存在，会引发新的问题。常见的问题是：需要怎样的时间尺度 $t_0$ 和轨道数量 $N_0$，才能使当 $t_N > t_0$ 且 $N > N_0$ 时，$\bar{f}$ 的值接近 $\langle f \rangle$ 呢？只有具备良好混合特性的系统，才能证明 $\bar{f}$ 会快速收敛到 $\langle f \rangle$，并且存在特征值 $(t_0, N_0)$。实际上，哈密顿系统通常并非如此，(6.3.14) 式中动力学混沌的缓慢收敛，可能会给混沌理论带来严重困难。

2. 退出时间分布的重整化公式

退出时间概率分布 $P_e(t; \Delta \Gamma)$ 取决于区域 $\Delta \Gamma$ 的位置。例如，若 $\Delta \Gamma$ 位于岛屿周围奇异区域 $\Delta \Gamma_s$ 内，根据 (6.3.3) 和 (6.3.12) 式，可得：
$\dot{P}_e(t; \Delta \Gamma_s) = \psi(t; \Delta \Gamma_s) \sim P_R(t)$，$(t \to \infty)$ (6.4.1)
此关系仅在渐近情况下成立，且与 $\Delta \Gamma_s$ 无关。(6.3.12) 式有两个优点：
- 能利用奇异区域特性的局部信息，求出回归分布函数 $P_R(t