5、混沌相空间中的岛屿结构解析

混沌相空间中的岛屿结构解析

1. 边界岛屿

边界岛屿位于另一个岛屿边界附近的随机域中。它们通过形成边界岛屿链（BIC）环绕中心的母岛。其出现或消失取决于参数变化时中心岛屿边界的移动。不过，由于边界的精细结构，描述边界岛屿的转变极其困难。

想象一个嵌入在混沌运动区域中的中心岛屿，其边界将混沌区域分隔开来。在中心岛屿内部，存在由不变曲线与混沌区域分隔开的岛链。例如，有二链和三链这两种类型的岛链，甚至可以确定与位于混沌区域的下一链（四链）相关的共振。实际上，四链可能仅由相当小的岛屿残余组成。

当改变标准映射的控制参数（如 K），使混沌区域的边界开始移动时，岛屿会发生改变。在混沌边界附近会发生众多分岔，导致许多较小的岛屿出现和消失。虽然目前没有对混沌区域边界附近模式演化的通用描述，但可以指出、描述和探索一些特殊性质和配置。

边界岛屿的概念是一种“地理”概念，可应用于薄随机层、随机网络和随机海中的小岛屿等。

2. 自相似岛屿集合

自相似岛屿集合的结构对异常输运问题至关重要。轨迹进入包含岛屿及其边界层的区域的概率与该区域的相对面积成正比，因为岛屿及其邻域之外的轨迹点的分布函数是均匀的。轨迹在岛屿边界层中停留的时间取决于其进入层的深度，这个时间可能极长，这种捕获现象被称为“粘性”。粘性与岛屿边界附近非常复杂的相空间拓扑结构有关，其粘性水平或特征捕获时间取决于外部参数，如标准映射或网络映射中的 K。在某些 K 的临界值附近，粘性会更强。

相空间中对于所有 K 值都存在混沌运动区域。当 K₀ > 1 时，非混沌运动有两种类型的区域：周期运动岛屿和加速器模式岛屿。在无限相空间 (u, v) 中，若初始条件在周期