13、傅里叶分析：原理、误区与编程实现

傅里叶分析：原理、误区与编程实现

1. 傅里叶分析基础

在实验场景中，即使信号持续时间很长，我们也需将信号观测时间限制为 $T$。对该信号进行分析时，我们仅能区分频率差至少为 $1/T$ 的频率分量。这意味着在分析时间内，两个信号的周期差至少为 1，才能在傅里叶变换中捕捉到不同的信号贡献。假设在时间 $T$ 内，一个信号有 $N_1$ 个周期，另一个信号有 $N_2$ 个周期，为区分这两个信号的频率，必须满足 $|N_1 - N_2| \geq 1$，这可由关系 $T = 1/(| f_1 - f_2|)$ 轻松推导得出。

2. 时域与频域关系的误解

时域与频域的关系容易导致严重误解。例如，在某些情况下，振荡仅持续很短时间（几个周期），其余时间振幅为零。但傅里叶变换显示有大约 30 个明显非零的频率分量。这意味着要用大约 30 个不同的正弦和余弦函数（即使信号为零时也持续存在）来描述原始信号。然而，认为振荡看似为零时并非真的为零，而是这些正弦和余弦函数之和，这种观点是荒谬的。虽然可以用这些函数描述有限时间的振荡，但这只是纯数学观点，与物理实际关系不大。

在量子光学领域，也存在类似的误解。有人认为创建光脉冲必须“使用许多不同的光子”，且每个光子能量为 $E = hf$（$h$ 为普朗克常数，$f$ 为频率），并为每个傅里叶系数添加物理现实层面的意义。但我们应更关注物理本质和数学形式的区别。

此外，取傅里叶系数的绝对值会使信号的所有时间信息消失。只有保留复数傅里叶系数，时间信息才得以完整保留，但往往隐藏得很深。只有从频域到时域的完整逆变换（使用复数傅里叶系数）才能恢复时间信息。因此，傅里叶变换，特别是频谱，对于在某些时间段为零或在采样时间内