7、球面贝塞尔样条：原理与连续性条件解析

球面贝塞尔样条：原理与连续性条件解析

1. 贝塞尔曲线的协变加速度定理

贝塞尔曲线在数学和计算机图形学中有着广泛的应用，对于给定的$k$阶贝塞尔曲线$t \to \beta_k(t; x_0, \cdots, x_k)$，其协变加速度满足以下两个重要性质：
- $t = 0$时的协变加速度 ：
$\frac{D}{dt}\big| {t = 0} \dot{\beta}_k(t; x_0, \cdots, x_k) = k(k - 1)\Omega_0$
其中$\Omega_0$的定义如下：
- 当$x_0 = x_1$时，$\Omega_0 = \dot{\alpha}(0, x_1, x_2)$；
- 当$x_0 \neq x_1$时，$\Omega_0 = \frac{1}{\sin(\theta_0^1)}h(x_0, x_1, x_2)$。
这里$h(x_0, x_1, x_2) = \theta_0^1 \dot{\alpha}(0, x_1, x_2) - \sin(\theta_0^1)\dot{\alpha}(0, x_0, x_1) + \langle\dot{\alpha}(0, x_1, x_2), x_0\rangle(\frac{\dot{\alpha}(1, x_0, x_1)}{\sin(\theta_0^1)} - \frac{\dot{\alpha}(0, x_0, x_1)}{\theta_0^1})$。
- $t = 1$时的协变加速度 ：
$\frac{D}{dt}\big| {t = 1} \dot{