28、机器人系统控制：近似动态逆与不确定性分析

机器人系统控制：近似动态逆与不确定性分析

1. 机器人系统控制的基本问题与动态逆方法

在机器人系统控制中，动态逆或计算扭矩控制是一种常用的控制设计起点。这种方法适用于多种系统，还能帮助理解其他控制方案。然而，该方法存在明显缺点，其精确消除不需要的项需要知道控制方程中非线性项的显式形式，而这些非线性项与连杆质量、惯性矩和惯性积等参数相关，实际中这些参数的精确值往往未知，导致计算控制扭矩难以实现精确消除。此外，机器人系统所受的一些外力，如摩擦力、耗散力和力矩，以及诸如间隙和滞后等非线性效应，在理论和实践中都很难确定。

2. 近似动态逆控制的引入

由于精确动态逆控制存在上述问题，我们引入近似动态逆控制。假设控制输入为：
[
\boldsymbol{\tau} = M_a \mathbf{v} - \mathbf{n}_a
]
其中，$M_a$ 和 $\mathbf{n}_a$ 分别是广义质量或惯性矩阵 $M$ 和非线性项 $\mathbf{n}$ 的近似值。机器人的运动方程为：
[
M \ddot{\mathbf{q}} = \mathbf{n} + \boldsymbol{\tau}_d + \boldsymbol{\tau}
]
其中，$\boldsymbol{\tau}_d$ 表示未知干扰扭矩。使用近似动态逆控制律，运动方程可重写为：
[
M \ddot{\mathbf{q}} = M_a \mathbf{v} + \mathbf{n} - \mathbf{n}_a + \boldsymbol{\tau}_d
]
进一步可写成紧凑形式 $\ddot{\mathbf{q}} = \mathbf{v} + \mathbf{d}$，其中 $\mathbf{d}$ 衡量精确消除的不匹配程度：
[
\mathbf{d} = M^{-1} \Delta M \mathbf{v} - M^{-1} \Delta \mathbf{n} + M^{-1} \boldsymbol{\tau}_d
]
$\Delta M = M_a - M$ 和 $\Delta \mathbf{n} = \mathbf{n}_a - \mathbf{n}$ 分别衡量广义惯性矩阵和非线性向量的近似误差。当 $M_a = M$，$\mathbf{n}_a = \mathbf{n}$ 且 $\boldsymbol{\tau}_d = 0$ 时，上述方程退化为精确消除的形式。

3. 基于近似动态逆的控制器示例

• 仅消除重力项的 PD 控制器 ：一种常用的控制器仅消除重力项，将广义惯性矩阵近似为单位矩阵，并在外部回路使用比例 - 微分（PD）控制。该控制器能使机器人在 $t \to \infty$ 时趋近于期望的最终恒定姿态，实现设定点控制。
  • 定理 6.4 ：设机器人系统的运动方程形式如上述，干扰扭矩 $\boldsymbol{\tau}_d = \mathbf{0}$。假设控制输入 $\boldsymbol{\tau}$ 采用近似动态逆定律，其中 $M_a = \mathbb{I}$，$\mathbf{n}_a = - \frac{\partial V}{\partial \mathbf{q}}$，$\mathbf{v} = - G_1 \dot{\mathbf{q}} - G_0 (\mathbf{q} - \mathbf{q}_d)$，$\mathbf{q}_d$ 是 $N$ 维恒定期望广义坐标向量，$G_1$ 和 $G_0$ 是恒定对称正定增益矩阵。则广义坐标跟踪误差 ${ \mathbf{e}^T, \dot{\mathbf{q}}^T }^T$（其中 $\mathbf{e}(t) := \mathbf{q}(t) - \mathbf{q}_d$）的原点是渐近稳定的平衡点。
  • 证明思路 ：定义 Lyapunov 函数 $\mathcal{V} = \frac{1}{2} \dot{\mathbf{q}}^T M \dot{\mathbf{q}} + \frac{1}{2} \mathbf{e}^T G_0 \mathbf{e}$，证明其导数 $\dot{\mathcal{V}}$ 沿系统轨迹为负半定，再根据 LaSalle 原理得出结论。
• 含不连续控制律的稳定控制器 ：为了在存在干扰和不确定性的情况下实现稳定控制，我们可以使用不连续控制律。
  • 定理 6.5 ：设机器人系统的运动方程形式如上述，定义跟踪误差 $\mathbf{e}(t) := \mathbf{q}(t) - \mathbf{q}_d(t)$，$\mathbf{x}(t) = \begin{bmatrix} \mathbf{e}(t) \ \dot{\mathbf{e}}(t) \end{bmatrix}$。假设满足以下三个条件：
    1. $N \times N$ 矩阵 $P$ 是 Lyapunov 方程 $A^T P + P A = - Q$ 的对称正定解，其中 $A = \begin{bmatrix} \mathbf{0} & \mathbb{I} \ - G_0 & - G_1 \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^{2N \times 2N}$，$Q$ 是 $N \times N$ 对称正定矩阵，$G_1$ 和 $G_0$ 是对称正定增益矩阵。
    2. 控制输入 $\mathbf{u}(t)$ 定义为：
       [
       \mathbf{u}(t) =
       \begin{cases}
• k \frac{B^T P \mathbf{x}}{| B^T P \mathbf{x} |} & \text{if } B^T P \mathbf{x} \neq \mathbf{0} \
  \mathbf{0} & \text{if } B^T P \mathbf{x} = \mathbf{0}
  \end{cases}
  ]
  其中，$k$ 是正常数，$B = \begin{bmatrix} \mathbf{0}^T & \mathbb{I}^T \end{bmatrix}^T \in \mathbb{R}^{2N \times N}$。
  3. 输入 $\boldsymbol{\tau}$ 选择为近似动态逆控制：
  [
  \boldsymbol{\tau} = M_a (\ddot{\mathbf{q}}_d - G_1 (\dot{\mathbf{q}} - \dot{\mathbf{q}}_d) - G_0 (\mathbf{q} - \mathbf{q}_d) + \mathbf{u}) - \mathbf{n}_a
  ]
  如果不确定性 $\mathbf{d}$ 满足 $| \mathbf{d} | < k$ 对于所有 $t \in \mathbb{R}^+$，则跟踪误差动态 $\begin{bmatrix} \mathbf{e} \ \dot{\mathbf{e}} \end{bmatrix}$ 的原点是渐近稳定的。
  • 证明思路 ：通过引入状态变量将系统方程写成状态空间形式，定义 Lyapunov 函数 $\mathcal{V} = \frac{1}{2} \mathbf{x}^T P \mathbf{x}$，证明其导数 $\dot{\mathcal{V}}$ 沿系统轨迹为负定。

4. 不连续控制律的问题与平滑切换控制的引入

不连续控制律虽然在理论上能实现渐近稳定，但存在一些问题。一方面，当控制方程右侧不连续时，Lyapunov 稳定性论证需要用广义解来严格证明，这超出了本文范围；另一方面，实际应用中，这种“硬”切换控制器会导致执行器高频振荡，且由于闭环系统是非线性的，难以预测系统何时会出现这种病态响应。

为了解决这些问题，我们引入平滑切换控制。平滑切换控制器引入一个参数 $\epsilon > 0$，定义了一个区域，在该区域内控制输入在“硬”切换控制器的大输出幅度之间平滑变化。

• 定理 6.6 ：假设定理 6.5 的假设成立，但选择控制信号 $\mathbf{u}(t)$ 为：
  [
  \mathbf{u}(t) =
  \begin{cases}
• k \frac{B^T P \mathbf{x}}{| B^T P \mathbf{x} |} & \text{if } | B^T P \mathbf{x} | \geq \epsilon \
• k \frac{B^T P \mathbf{x}}{\epsilon} & \text{if } | B^T P \mathbf{x} | < \epsilon
  \end{cases}
  ]
  则闭环系统的跟踪误差动态 $\mathbf{x}^T := \begin{bmatrix} \mathbf{e}^T & \dot{\mathbf{e}}^T \end{bmatrix}$ 趋近于集合 $\mathcal{S} \subseteq { \mathbf{x} | \dot{\mathcal{V}}(\mathbf{x}) = 0 } \subseteq { \mathbf{x} | \frac{1}{2} \mathbf{x}^T Q \mathbf{x} = \epsilon k }$ 的最大弱不变子集。闭环跟踪误差动态是一致最终有界的，其量级为 $O(\epsilon)$。

5. 示例分析

• 示例 6.8 ：考虑球形机器人操纵器，使用 PD 反馈和重力补偿控制器实现设定点控制。
  • 控制器设计 ：控制扭矩 $\boldsymbol{\tau}$ 为：
    [
    \boldsymbol{\tau} =
    \begin{bmatrix}
    m_1 \
    m_2 \
    f
    \end{bmatrix}
    = - g_1
    \begin{bmatrix}
    \dot{\theta} 1 \
    \dot{\theta}_2 \
    \dot{d} {q,r}
    \end{bmatrix}
• g_0
  \begin{bmatrix}
  \theta_1 - \theta_d \
  \theta_2 - \theta_d \
  d_{q,r} - d_{q,r,d}
  \end{bmatrix}
• \begin{bmatrix}
  0 \
  m_3 g d_{q,r} \sin \theta_2 \
• m_3 g \cos \theta_2
  \end{bmatrix}
  ]
  • 结果分析 ：通过绘制状态轨迹、设定点误差和控制输入随时间的变化，发现所有状态轨迹在 $t \to \infty$ 时趋近于各自的期望值。与精确计算扭矩控制相比，$\theta_1(t)$ 和 $\theta_2(t)$ 的轨迹不同，轴向位移 $d_{q,r}(t)$ 的误差动态也不为零。此外，控制器在启动时会出现较大的瞬态变化，特别是对于大增益情况。
• 示例 6.9 ：构建基于近似反馈线性化和滑模项的设定点控制器，驱动球形机器人操纵器到期望的最终配置。
  • 控制器设计 ：首先，将广义质量矩阵 $M$ 和非线性向量 $\mathbf{n}$ 进行因式分解，得到近似值 $M_a$ 和 $\mathbf{n}_a$，进而得到误差 $\Delta M$ 和 $\Delta \mathbf{n}$ 以及干扰 $\mathbf{d}$。控制律先采用不连续滑模控制器：
    [
    \mathbf{v} =
    \begin{cases}
• k \frac{B^T P \mathbf{x}}{| B^T P \mathbf{x} |} & \text{whenever } | B^T P \mathbf{x} | > \epsilon \
  \mathbf{0} & \text{otherwise}
  \end{cases}
  ]
  • 结果分析 ：不连续滑模控制器下，广义坐标在 $t \approx 0.5$ s 时迅速收敛到滑模面，但之后收敛到期望值的速度较慢。控制输入会出现抖振现象，执行器需要较高的带宽。然后采用正则化滑模控制器：
    [
    \mathbf{v} =
    \begin{cases}
• k \frac{B^T P \mathbf{x}}{| B^T P \mathbf{x} |} & \text{whenever } | B^T P \mathbf{x} | > \epsilon \
• k \frac{B^T P \mathbf{x}}{\epsilon} & \text{otherwise}
  \end{cases}
  ]
  与不连续滑模控制器相比，正则化滑模控制器的控制输入不会出现抖振现象，是物理可实现的，但轨迹只能保证收敛到期望值的某个邻域。

6. 总结

本文介绍了机器人系统控制中的近似动态逆控制方法，分析了其在存在不确定性和干扰情况下的应用。通过引入近似动态逆控制，我们可以在不完全了解系统参数的情况下实现一定程度的控制。不连续控制律虽然能在理论上保证稳定性，但存在实际应用问题，而平滑切换控制可以有效解决这些问题。通过具体示例，我们验证了不同控制器的性能和特点，为机器人系统的控制设计提供了参考。

以下是一个简单的 mermaid 流程图，展示近似动态逆控制的主要步骤：

graph TD;
    A[定义系统运动方程] --> B[引入近似动态逆控制律];
    B --> C[重写运动方程];
    C --> D[分析跟踪误差动态];
    D --> E[设计控制器（PD、滑模等）];
    E --> F[进行仿真验证];

控制器类型	优点	缺点
仅消除重力项的 PD 控制器	实现设定点控制，结构简单	启动时可能有较大瞬态变化
不连续滑模控制器	理论上保证渐近稳定	存在抖振问题，带宽要求高
正则化滑模控制器	无抖振，物理可实现	只能收敛到期望值邻域

机器人系统控制：近似动态逆与不确定性分析

7. 近似动态逆控制的深入探讨

在前面的内容中，我们介绍了近似动态逆控制的基本概念、相关定理以及一些具体的控制器示例。接下来，我们将对近似动态逆控制进行更深入的探讨，分析其在不同场景下的应用和性能。

7.1 近似动态逆控制的适应性

近似动态逆控制的一个重要优势在于其对系统不确定性的适应性。由于实际机器人系统中存在各种难以精确测量的参数和干扰，如连杆质量、摩擦力等，精确动态逆控制往往难以实现。而近似动态逆控制通过引入近似值 $M_a$ 和 $\mathbf{n}_a$，可以在一定程度上容忍这些不确定性。

例如，在示例 6.9 中，我们考虑了机器人连杆质量的近似问题。通过对质量的近似处理，我们仍然能够设计出有效的控制器，使机器人趋近于期望的最终配置。这种适应性使得近似动态逆控制在实际应用中更加可行。

7.2 增益矩阵的选择

增益矩阵 $G_0$ 和 $G_1$ 的选择对控制器的性能有着重要影响。在定理 6.4 和定理 6.5 中，我们要求 $G_0$ 和 $G_1$ 是恒定对称正定增益矩阵。增益矩阵的大小会影响系统的响应速度和稳定性。

• 大增益情况 ：当增益矩阵的值较大时，系统的响应速度会加快，但可能会导致控制器在启动时出现较大的瞬态变化，如示例 6.8 中所示。大增益还可能使系统对噪声更加敏感，增加系统的不稳定性。
• 小增益情况 ：相反，当增益矩阵的值较小时，系统的响应速度会变慢，但启动时的瞬态变化会相对较小。然而，过小的增益可能会导致系统收敛到期望值的速度过慢，甚至无法达到期望的控制效果。

因此，在实际应用中，需要根据具体的机器人系统和控制要求，合理选择增益矩阵的值。

7.3 平滑切换控制的参数选择

平滑切换控制引入的参数 $\epsilon$ 对控制效果也有着重要影响。参数 $\epsilon$ 定义了一个区域，在该区域内控制输入在“硬”切换控制器的大输出幅度之间平滑变化。

• 大 $\epsilon$ 值 ：当 $\epsilon$ 值较大时，控制输入的平滑变化区域较大，系统的抖振现象会得到有效抑制。但同时，闭环跟踪误差动态的收敛范围也会增大，即系统只能收敛到期望值的一个较大邻域内。
• 小 $\epsilon$ 值 ：当 $\epsilon$ 值较小时，控制输入的平滑变化区域较小，系统的收敛范围会减小，但可能会导致控制输入接近“硬”切换控制器，从而出现一定程度的抖振现象。

因此，在选择参数 $\epsilon$ 时，需要权衡抖振抑制和收敛精度之间的关系。

8. 近似动态逆控制的实际应用

近似动态逆控制在机器人系统的多个领域都有着广泛的应用，下面我们将介绍一些常见的应用场景。

8.1 工业机器人

在工业生产中，机器人需要完成各种复杂的任务，如搬运、装配等。由于工业环境的复杂性和不确定性，机器人系统往往会受到各种干扰和参数变化的影响。近似动态逆控制可以在这种情况下，通过容忍一定的不确定性，实现对机器人的有效控制。

例如，在机器人搬运任务中，由于负载的变化会导致机器人连杆的质量和惯性发生改变，精确动态逆控制可能无法实现精确的控制。而近似动态逆控制可以通过对这些参数的近似处理，设计出适应性更强的控制器，使机器人能够稳定地完成搬运任务。

8.2 服务机器人

服务机器人通常需要在人类环境中工作，与人类进行交互。这就要求机器人具有较高的安全性和稳定性。近似动态逆控制可以通过引入平滑切换控制，减少控制输入的抖振现象，提高机器人的安全性和稳定性。

例如，在家庭服务机器人中，如扫地机器人，需要在不同的地面材质和环境条件下工作。地面的摩擦力和机器人的负载会不断变化，近似动态逆控制可以根据这些变化，实时调整控制策略，使机器人能够高效地完成清扫任务。

8.3 医疗机器人

医疗机器人在手术、康复等领域有着重要的应用。由于医疗任务的高精度要求和人体的复杂性，机器人系统需要对各种不确定性进行有效处理。近似动态逆控制可以通过其对不确定性的适应性，为医疗机器人提供更可靠的控制方案。

例如，在手术机器人中，由于人体组织的弹性和变形等因素，机器人的运动控制需要考虑这些不确定性。近似动态逆控制可以通过对这些因素的近似处理，设计出更加精确和稳定的控制器，提高手术的成功率。

9. 总结与展望

本文详细介绍了机器人系统控制中的近似动态逆控制方法，包括其基本原理、相关定理、控制器设计以及实际应用。通过对近似动态逆控制的研究，我们可以看到其在处理系统不确定性和干扰方面具有重要的优势。

然而，近似动态逆控制仍然存在一些挑战和问题需要进一步研究。例如，如何更准确地估计系统的不确定性和干扰，如何优化增益矩阵和参数 $\epsilon$ 的选择，以及如何提高控制器的实时性和鲁棒性等。

未来，随着机器人技术的不断发展，近似动态逆控制有望在更多领域得到应用。同时，结合其他先进的控制理论和技术，如智能控制、自适应控制等，有望进一步提高机器人系统的控制性能和适应性。

以下是一个 mermaid 流程图，展示近似动态逆控制在实际应用中的流程：

graph TD;
    A[确定机器人应用场景] --> B[分析系统不确定性和干扰];
    B --> C[设计近似动态逆控制器];
    C --> D[选择增益矩阵和参数];
    D --> E[进行仿真和实验验证];
    E --> F[优化控制器参数];
    F --> G[应用于实际机器人系统];

应用领域	主要挑战	近似动态逆控制的优势
工业机器人	负载变化、环境干扰	容忍不确定性，实现有效控制
服务机器人	安全性和稳定性要求高	减少抖振，提高安全性和稳定性
医疗机器人	高精度要求、人体复杂性	处理不确定性，提供可靠控制方案