52、3度图的边支配集与流式模型下的近似椭球算法

3度图的边支配集与流式模型下的近似椭球算法

3度图的边支配集问题

在图论中，边支配集问题是一个重要的研究领域。对于最大度为3的图，我们可以使用 $O^ (2.2306^k)$ 的时间和多项式空间来判定该图是否存在大小为 $k$ 的边支配集。这一算法改进了之前Fernau提出的 $O^ (2.6181^k)$ 时间的多项式空间算法，以及Fomin等人提出的 $O^*(2.4181^k)$ 时间的指数空间算法。需要注意的是，Fernau和Fomin等人的算法同样适用于一般图的边支配集问题。

目前，我们针对3度图的边支配集问题给出了两种算法：一种是 $O^ (1.2721^n)$ 时间的精确算法，另一种是 $O^ (2.2306^k)$ 时间的参数化算法。这两种算法是当前对应问题的最快算法。同时，我们还提出了一些用于（带注释的）边支配集问题的数据缩减规则，这些规则可以有效减小图的输入规模。

许多用于图问题的分支搜索算法在图中存在高度数顶点时表现良好。因此，针对低度数图问题的快速算法可能会直接提升一般图问题算法的性能。这种情况适用于独立集、顶点覆盖、边支配集等一些基本问题。探索在图被限制为低度数图时，是否存在更快的基本图问题算法是一个有趣的研究方向。

流式模型下的近似椭球问题

背景与动机

近年来，受Feigenbaum、Kannan和Zhang关于在流式和滑动窗口模型中近似计算点集直径的结果启发，人们对数据流上的几何优化问题产生了浓厚兴趣。Zarrabi - Zadeh和Chan提出了一种在流式模型中计算一组 $n$ 个点的近似生成球的简单算法，通过优雅的分析表明，近似球的半径是精确半径的 $3/2$ 倍以内。Mukhopadhyay等人研究了计算近似椭圆的问题，以非平凡的方式扩展了球算法，并构造了一个示例输入，表明近似比可能是无界的。在本文中，我们将这些结果扩展到了 $d$ 维空间。

流式模型

流式模型最早由相关研究提出，它为计算几何学者研究涉及几何数据流的问题提供了动力。在这个模型中，我们只能对数据进行一次遍历，允许的存储量远小于输入数据的大小，并且更新操作必须快速完成。这些都是在处理无限数据流时的实时约束。

对于我们的问题，在算法的第 $i + 1$ 次迭代中，我们会得到一个点 $p_{i + 1}$ 以及之前的一个椭球 $E_i$，我们存储 $E_i$ 的描述信息，需要 $O(d)$ 的空间。我们知道 $E_i$ 是某个未知集合 $S_i$ 的近似最小包围椭球。然后，我们希望得到一个新的椭球 $E_{i + 1}$，它是集合 $S_{i + 1} = S_i \cup {s_{i + 1}}$ 的近似最小包围椭球。虽然这个问题可以设置为一个凸规划优化问题，但我们采用了一种针对这个特殊情况发明的更直接的方法。

近似椭球算法

我们的算法基于解决以下两个问题：
- 问题1 ：给定一个在 $k$ 维空间（$k \leq d$）中具有完整体积的椭球 $E_A$ 和一个位于 $E_A$ 外部的输入点 $p$，找到一个跨越 $E_A$ 和 $p$ 的最小体积椭球。
- 解决方法：找到一个椭圆变换 $T$，将 $E_A$ 变换为一个单位球，同时将点 $p$ 也进行相同的变换。然后，在变换后的空间中，解决找到单位球和 $T(p)$ 的最小生成椭球的较简单问题。最后，对变换后的空间中的最小生成椭球应用逆变换 $T^{-1}(.)$，以在原始空间中找到所需的最小生成椭球。椭圆变换 $T$ 保持相对体积，这保证了变换后的椭球在原始空间中具有最小体积。
- 寻找 $T(.)$ ：$T(.)$ 需要满足两个性质：
- P1 ：对于任何椭球 $E$，$T(E)$ 及其逆像 $T^{-1}(E)$ 都是椭球。
- P2 ：$T(.)$ 保持相对体积，即 $volume(E_1) \leq volume(E_2) \Leftrightarrow volume(T(E_1)) \leq volume(T(E_2))$。
如果 $T(.)$ 是旋转或平移，显然满足这两个性质。当 $T(.)$ 是缩放时，也满足这两个性质，具体证明如下：
设 $1 = [p - p_0]^T A [p - p_0]$ 是中心为 $p_0$ 的椭球 $E$ 的矩阵方程，其中 $A$ 是一个正定矩阵（$det(A) > 0$）。设 $p’ = T(p)$ 是 $E$ 上的某个点 $p$ 经过变换后的点，$p’ 0 = T(p_0)$。由于 $T^{-1}$ 是定义良好的，变换后椭球的矩阵方程为 $[p’ - p’_0]^T T^{-1}AT^{-1} [p’ - p’_0] = 1$。经过计算可知 $T(E)$ 是椭球，并且 $T$ 满足 $P1$ 和 $P2$。
- 寻找 $E’_A$ ：通过一系列引理，我们可以确定一些关键的性质。例如，若一个椭球 $E$ 以最小体积包围单位球 $B$ 并经过点 $(s, 0, 0, \cdots, 0)$，则可以得到一些关于椭球参数的关系。
- 引理2表明，如果一个椭圆 $(x_1 - x_0)^2 / a_1^2 + x_2^2 / a_2^2 = 1$ 包围单位圆 $x_1^2 + x_2^2 = 1$，那么椭球 $(x_1 - x_0)^2 / a_1^2 + x_2^2 / a_2^2 + \cdots + x_d^2 / a_2^2 = 1$ 包围单位球 $x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_d^2 = 1$。
- 引理3指出，如果 $(x_1 - x_0)^2 / a_1^2 + x_2^2 / a_2^2 + \cdots + x_d^2 / a_d^2 = 1$ 是在 $d$ 维空间中以最小体积包围单位球 $B$ 并经过点 $(s, 0, 0, \cdots, 0)$ 的椭球方程，那么 $a_2 = a_3 = \cdots = a_d$。
- 引理4说明，如果 $E$ 是以最小体积包围单位球 $B$ 并经过点 $(s, 0, 0, \cdots, 0)$ 的椭球，那么 $p_2 = \cdots = p_d = 0$。
- 引理5给出了以最小体积包围单位球 $B$ 并经过点 $p’ = (s, 0, 0, \cdots, 0)$ 的椭球 $E$ 的参数关系：$a_1^2 = (\beta - x_0)(\beta^{-1} - x_0)$ 和 $a_2^2 = 1 - x_0\beta$，其中 $\beta = \frac{s - \sqrt{s^2 + \frac{4d}{(d - 1)^2}}}{\frac{2d}{d - 1}}$，$x_0 = \frac{s^2 - 1}{2s - \beta - \beta^{-1}}$。
- 引理6表明，包围单位球 $B$ 并经过位于该单位球外部的点的最小椭球，其长轴沿着该点与单位球中心的连线。
- 问题2 ：给定一个在 $k$ 维空间（$k < d$）中具有完整体积的椭球 $E_A$ 和一个位于包含 $E_A$ 的 $k$ 平面外部的点，找到一个在 $k + 1$ 维空间中跨越 $E_A$ 和 $p$ 的最小且完整体积的椭球。
- 解决方法：首先使用缩放变换将 $E_A$ 变换为单位球 $E’_A$，同时将点 $p$ 变换为 $p’$。跨越 $E’_A$ 和 $p’$ 的最小体积椭球具有 $\sum {i = 1}^{k - 1} x_i^2 + \alpha_1 x_k^2 + (\sum_{i = 1}^{k - 1} \alpha_i x_i) x_k = 1$ 的形式。$\alpha_i$ 的值由两个条件确定：一是点 $p’$ 在生成椭球上，二是生成椭球必须具有最小体积。确定所有 $\alpha_i$ 后，我们应用缩放变换的逆变换，以在原始的 $k + 1$ 维空间中得到生成椭球。

近似椭球算法流程

以下是近似椭球算法的具体步骤：
1. 求解问题1或问题2，获得一个初始的具有完整体积的椭球。
2. 当我们得到一个具有完整体积的近似椭球后，对于每个不在当前近似椭球内部的新输入点，执行以下操作：
- 通过旋转、平移和缩放，将近似椭球变换为单位球。
- 应用适当的旋转，使新点 $P$ 对齐到 $x$ 轴上。
- 使用引理5中给出的公式计算 $\beta$、$a_1$ 和 $a_2$。

下面是该算法的流程图：

graph TD;
    A[开始] --> B[获取初始完整体积椭球];
    B --> C{有新输入点?};
    C -- 是 --> D{新点在当前椭球内?};
    D -- 否 --> E[变换近似椭球为单位球];
    E --> F[旋转新点到x轴];
    F --> G[计算β, a1, a2];
    G --> C;
    D -- 是 --> C;
    C -- 否 --> H[结束];

通过以上算法，我们可以在流式模型下计算近似椭球。然而，我们还构造了一个示例输入序列，表明该算法的近似比可能是无界的。尽管体积比可能变得无界，但我们证明了存在一个方向，在该方向上宽度比被限制在2倍以内。

3度图的边支配集与流式模型下的近似椭球算法

近似比无界示例构造

为了说明在流式模型下计算近似椭球的算法的近似比可能是无界的，我们需要构造一个示例输入序列。虽然在实际计算中，我们期望算法能有较好的近似效果，但这个示例将展示在某些特殊情况下，算法的性能可能会出现较大偏差。

假设我们有一系列点按照特定顺序输入。我们可以想象在高维空间中，点的分布呈现出一种特殊的模式，使得每次更新近似椭球时，新的椭球体积相对于精确的最小包围椭球体积不断增大。

例如，我们可以构造一个点集，其中点沿着某个方向逐渐稀疏分布，并且新加入的点总是位于当前近似椭球的外部。这样，每次更新近似椭球时，为了包含新的点，椭球的体积不得不不断增大。随着点的不断加入，近似椭球的体积与精确最小包围椭球的体积之比会越来越大，最终趋于无穷大。

下面我们通过一个简单的二维示例来直观理解。假设初始有三个点构成一个三角形，我们计算出其近似包围椭圆。然后，我们不断在远离这个三角形的方向上添加新的点。每次添加新点后，为了包含该点，近似椭圆的长轴和短轴都会不断增长，而精确的最小包围椭圆可能增长得相对较慢，从而导致近似比不断增大。

宽度比有界性证明

尽管近似椭球的体积比可能无界，但我们证明了存在一个方向，在该方向上宽度比被限制在2倍以内。

我们可以从几何的角度来理解这个证明。考虑一个椭球和一个点，当我们计算跨越它们的最小体积椭球时，虽然在某些方向上椭球的尺寸可能会大幅增加，但在某个特定方向上，其增长是有限的。

假设我们有一个单位球和一个位于其外部的点 $p$。我们知道，最小体积椭球的形状和位置是由点 $p$ 的位置以及单位球的特性决定的。通过对椭球的方程和几何性质进行分析，我们可以找到一个方向，使得在这个方向上，近似椭球和精确最小包围椭球的宽度之比不超过2。

具体来说，我们可以利用之前提到的引理和变换方法。在将椭球变换为单位球并进行相关计算后，我们可以通过对椭球的参数和几何关系进行推导，得出这个有界性的结论。例如，我们可以分析椭球在某个坐标轴方向上的投影，以及该投影与单位球和点 $p$ 的关系，从而确定宽度比的上限。

总结与展望

本文围绕3度图的边支配集问题和流式模型下的近似椭球问题展开了研究。

在3度图的边支配集问题方面，我们提出了当前最快的精确算法和参数化算法，并给出了数据缩减规则。这些成果为解决相关图问题提供了更高效的方法。未来，我们可以进一步探索低度数图问题算法的优化，尝试将这些算法应用到更复杂的图结构中，以提升一般图问题算法的性能。

在流式模型下的近似椭球问题方面，我们将之前的研究结果扩展到了 $d$ 维空间，提出了近似椭球算法，并证明了宽度比的有界性。虽然近似比可能无界，但宽度比的有界性为算法的性能提供了一定的保障。未来的研究可以考虑如何改进算法，降低近似比的上限，或者探索在不同的流式模型和数据分布下，算法的性能表现。

以下是一个总结表格，展示了本文的主要研究成果：
| 问题领域 | 主要成果 |
| ---- | ---- |
| 3度图的边支配集问题 | 1. $O^ (1.2721^n)$ 时间的精确算法
2. $O^ (2.2306^k)$ 时间的参数化算法
3. 数据缩减规则 |
| 流式模型下的近似椭球问题 | 1. 扩展到 $d$ 维空间的近似椭球算法
2. 证明近似比可能无界
3. 证明存在方向上宽度比不超过2 |

同时，我们可以用一个流程图来展示整个研究的思路：

graph TD;
    A[开始研究] --> B[3度图边支配集问题];
    A --> C[流式模型近似椭球问题];
    B --> B1[提出算法和规则];
    C --> C1[扩展算法到d维];
    C --> C2[构造近似比无界示例];
    C --> C3[证明宽度比有界性];
    B1 --> D[总结成果];
    C1 --> D;
    C2 --> D;
    C3 --> D;
    D --> E[展望未来研究];

通过以上的研究和分析，我们在图论和几何优化领域取得了一定的进展，但仍有许多问题等待我们去解决，未来的研究充满了挑战和机遇。