35、分治算法在不可靠 λ 环网络中的应用

分治算法在不可靠 λ 环网络中的应用

1. 引言

在网络研究中，确定一个网络的最大可达节点（MRS）是一个重要的问题。对于所有节点都对故障免疫的情况，我们将介绍一种分治算法来计算不可靠 λ 环网络的 MRS，其时间复杂度为 $O(∥λ∥_2^2 + ⌈log|λ|⌉· ∥λ∥_1)$。

2. 不可靠 λ 环网络

• 环树图定义 ：设 $T = (V_T, E_T)$ 是一个无向树图。一个具有底层拓扑结构 $T$ 的环树图 $N = (V, E)$ 按以下方式构建：
  1. 每个节点 $v_j \in V_T$ 扩展为一个无向环 $N_j = (V_j, E_j)$；
  2. 移除 $E_T$ 中的每条边。
• m - 环图与 λ - 环图 ：当底层拓扑结构是一个具有 $m$ 个节点的条带图 $S = (V_S, E_S)$ 时，这样的环树图称为 $m$ - 环图。如果每个 $N_j$（$j \in {1, \ldots, m}$）包含 $λ_j$ 个节点，则该 $m$ - 环图称为 $λ$ - 环图，其中 $λ = (λ_1, \ldots, λ_m)$。
• 子图定义 ：设 $N(j_1, j_2) = (V(j_1, j_2), E(j_1, j_2))$（$j_1 \leq j_2$）表示 $N$ 的一个子图，包含索引连续为 $j_1, \ldots, j_2$ 的环簇。显然，当 $j_2 = j_1$ 时，$N(j_1, j_1) =