30、图搜索问题中的快速边缘搜索与快速搜索研究

图搜索问题中的快速边缘搜索与快速搜索研究

在图论的搜索问题中，快速边缘搜索问题和快速搜索问题是两个重要的研究方向。本文将深入探讨这两个问题之间的关系，以及它们与节点搜索问题的联系，并介绍一种近似算法。

1. 基本概念

• 快速边缘搜索问题 ：目标是在边缘搜索模型中找到捕获逃犯所需的最少步骤数。
• 快速搜索问题 ：目标是在快速搜索模型中找到捕获逃犯所需的最少搜索者数量。
• 图的相关定义 ：
  • 对于图 (G = (V, E))，顶点 (v) 的度 (deg_G(v)) 是与 (v) 关联的边的数量。
  • 奇数度顶点构成集合 (V_{odd}(G))，偶数度顶点构成集合 (V_{even}(G) = V \setminus V_{odd}(G))。
  • 顶点 (v) 的邻域 (N_G(v) = {u : uv \in E})。
  • 图 (G) 的块是其最大的无割点连通子图，块图是一个森林，叶块对应块图中度数为 1 的顶点，且每个叶块恰好有一个割点。

2. 快速边缘搜索与快速搜索的关系

• 定理 1 ：对于任何图 (G = (V, E))，(fet(G) = fsn(G) + |E|)。
  • 证明思路：快速搜索策略可视为边缘搜索策略，因此 (fet(G) \leq fsn(G) +